Teorema: Todo $G_{\delta}$ num espaço métrico completo é completamente metrizável. (aqui $G_{\delta}$ é uma interseção enumerável de abertos).

Demonstração: Sejam $(X,d)$ métrico e $G_{\delta} = \underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap}A_{n}$, onde cada $A_{n}$ é aberto em $X$. Pela proposição anterior temos que para cada $n \in \mathbb{N}$ existe uma métrica completa $d_{n}$ equivalente a $d$ sobre $A_{n}$. Com isso, podemos supor que $d_{n}$ é limitada por $1$. Logo, existe uma métrica completa sobre $\underset{n \in \mathbb{N}}{\prod}A_{n}$ que induz a topologia produto. Consideremos a diagonal de $\underset{n \in \mathbb{N}}{\prod}A_{n}$ dada por

$$\Delta = \left\{ (a,a,\ldots,a,\ldots) \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\prod}A_{n}: a \in G_{\delta} \right\}.$$

Como $\underset{n \in \mathbb{N}}{\prod}A_{n}$ é Hausdorff temos que $\Delta$ é fechado. Assim, $\Delta$ é métrico completo. Mas notemos que $f: \underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap} \rightarrow \Delta$, dada por $f(a) = (a)_{n \in \mathbb{N}}$ é um homeomorfismo. Logo $G_{\delta}$ é completamente metrizável.