Proposição: A função $\beta_{h}\colon \pi_{1}(X,x_{1}) \to \pi_{1}(X,x_{0})$ é um isomorfismo.

Demonstração: Vemos primeiro que $\beta_{h}$ é um homomorfismo, pois: $$ \beta_{h}[f\ast g] = [h\ast f\ast g\ast \bar{h}] = [h\ast f\ast \bar{h}\ast h\ast g\ast \bar{h}] = \beta_{h}[f]\ast \beta_{h}[g] $$ E $\beta_{h}$ é um isomorfismo com a inversa $\beta_{\bar{h}}$, já que: $$ \beta_{h}\beta_{\bar{h}}[f] = \beta_{h}[\bar{h}\ast f\ast h] = [h\ast \bar{h}\ast f\ast h\ast \bar{h}] = [f] $$ Análogo para mostrar que $\beta_{\bar{h}}\beta_{h}[f] = [f]$.