Proposição. Seja $(X,\tau)$ espaço de Hausdorff. Sejam $F,G \subset X$ compactos disjuntos. Então existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A$ e $G \subset B$.

Demonstração: Sejam $F,G \subset X$ compactos disjuntos. Pelo lema, para cada $y \in G$, existem $A_y, \; B_y$ abertos tais que $F \subset A_y$, $y \in B_y$ e $A_y \cap B_y = \emptyset$. Como $G$ é compacto, existem $y_1,y_2,\ldots,y_n \in G$ tais que $G \subset \bigcup_{i=1}^n B_{y_i}$. Sejam $A=\bigcap_{i=1}^n A_{y_i}$ e $B=\bigcup_{i=1}^n B_{y_i}$, então é fácil ver que $A,B$ satisfazem o enunciado.