Demonstração

Primeiramente, vamos supor que $X$ é contrátil. Portanto, dado $c\in X$, temos que $Id_X \simeq c$. Vamos considerar o espaço unitário $\{c\}$ e as aplicações $f: X \to \{c\}, ~f(x) = c,~ \forall x\in X$ e $g: \{c\} \to X, ~g(c) = c$. Repare que $f \circ g (c) = f(c) = c$, portanto $f\circ g = Id_{\{c\}}$. Por outro lado, $g\circ f (x) = g(c) = c$, portanto $g\circ f \equiv c \simeq Id_X$. Portanto, $X$ é homotopicamente equivalente a $\{c\}$, um espaço unitário.

Agora, vamos supor que $X$ é homotopicamente equivalente a um espaço unitário $\{a\}$. Portanto, existem aplicações $f:X \to \{a\}, ~g: \{a\} \to X$ tais que $f\circ g \simeq Id_{\{a\}}$ e $g\circ f \simeq Id_X$. Note, porém, que $g\circ f(x) = g(a) \in X$, uma aplicação constante. Mas então concluímos que $Id_X \simeq g(a)$, a identidade de $X$ é homotópica a uma constante. Concluímos assim que $X$ é contrátil.