Demonstração: Já temos a bijetividade e a continuidade de $f$ como hipótese. Para mostrar que $f$ é de fato um homeomorfismo, só resta provar que $f^{-1}: Y \to X$ é contínua.

Dizer que uma função é contínua equivale a dizer que imagem inversa de fechados por essa função são fechados.

Seja $F\subset X$ fechado. Repare que $(f^{-1})^{-1}[F] = f[F]$. Mas como $f$ é contínua, $X$ é compacto e $Y$ é Hausdorff, temos pelo corolário anterior que $f[F]$ é fechado em $Y$. Portanto, a imagem inversa de fechados pela função $f^{-1}$ resulta em fechados em $Y$, concluindo que $f^{-1}$ é contínua e, portanto, $f$ é um homeomorfismo.