Como os conjuntos da forma $(a,b)\cap [0,1]$ formam uma base para $[0,1]$, então $$\mathcal{B}:=\{[0,b):0<b\le 1\}\cup \{(a,1]:0\le a<1\}$$ é sub-base para $[0,1]$. Sejam $\mathcal{F}\subset \mathcal{B}$ cobertura de $[0,1]$ e $$\beta:=\sup \{b\in (0,1]:[0,b)\in \mathcal{F}\}$$ Note que $\beta$ está bem definido, pois $\cup_{a\in [0,1)} (a,1]=(0,1]\neq [0,1]$; além disso, $\beta \not \in [0,b)\ \forall [0,b)\in \mathcal{F}$, donde $\beta \in (a,1]$ para algum $(a,1]\in \mathcal{F}$ pois $\beta \in [0,1]$. Pela definição de $\beta$, existe $a<b'<\beta$ com $[0,b')\in \mathcal{F}$, e logo $$[0,1]=[0,b')\cup (a,1]$$ e $\{[0,b'),(a,1]\}$ é subcobertura de $\mathcal{F}$.