Demonstrando a ida :
Se $a \nleqslant b$, $a+b \neq b$.
Multiplicando ambos os lados da igualdade por (-b) :
$(a+b)(-b) \neq b(-b)$
Utilizando as proposições 3 e 5, temos que :
$(a(-b))+(b(-b)) \neq 0$
Pela proposição 5 :
$(a(-b))+0 \neq 0$
$(a(-b)) \neq 0$
Como $a(-b) = a-b$ : $a-b \neq 0$.
Demonstrando a volta :
Se $a-b \neq 0$, $a(-b) \neq 0$
Somando b aos dois lados da igualdade, temos :
$(a(-b))+b \neq 0+b$
Pela proposição 3 :
$(a(-b))+b = (a+b)(b+(-b)) \neq b$
Pela proposição 5
$(a+b)(b+(-b)) = (a+b)1 \neq b$
$(a+b) \neq b$
Logo, $a \leqslant b$.