Pela proposição 5 :

$0.(-0) = 0$

Somando $(-0)$ em ambos os lados da igualdade :

$(0.(-0))+(-0) = 0+(-0)$

Pela proposição 5, $0+(-0) = 1$, então :

$(0.(-0))+(-0) = 1$

Pela proposição 5 :

$(-0)+((-0).0) = (-0)((-0)+0) = 1$

Como pela proposição 5, $0+(-0) = 1$ :

$(-0)((-0)+0) = (-0).1 = 1$

Como $(-0).1 = -0$ :

$-0 = 1$, $\blacksquare$

Pela proposição 5 :

$1+(-1) = 1$

Multiplicando ambos os lados da igualdade por $(-1)$ :

$(-1).(1+(-1)) = 1.(-1)$

Pela proposição 5, $1.(-1) = 0$, então :

$(-1).(1+(-1)) = 0$

Pela proposição 4 :

$(-1).(1+(-1)) = (-1)+(1.(-1)) = 0$

Pela proposição 5 :

$(-1)+(1.(-1)) = (-1)+(0) = 0$

Como $(-1)+(0) = -1$ :

$-1 = 0$, $\blacksquare$