Demonstrando a ida :
Como $((-b)+b) = 1$, temos que :
$a((-b)+c) = ((-b)+b)a((-b)+c)$
$a((-b)+c) = (a(-b)+ab)((-b)+c)$
$a((-b)+c) = a(-b)+a(-b)c+ab(-b)+abc$
Como $b(-b) = 0$ :
$a((-b)+c) = a(-b)+a(-b)c+abc$
Se $ab \leq c$, $ab = abc$. Então :
$a((-b)+c) = a(-b)+a(-b)c+ab$
$a((-b)+c) = a((-b)+b)+a(-b)c$
$a((-b)+c) = a+a(-b)c$
Seja $(-b)c = d$. Temos pela proposição 4 que $a(ad) = a$. Logo :
$a((-b)+c) = a+a(-b)c = a+(ad) = a$
Se $a((-b)+c) = a$, $a \leq -b+c$.
Como $-b+c = b \Rightarrow c$, $a \leq b \Rightarrow c$, $\blacksquare$.
Demonstrando a volta :
Se $a \leq (b \Rightarrow c)$, $a \leq (-b+c)$, ou seja, $a(-b+c) = a$.
Multiplicando ambos os lados da igualdade por b :
$b(a(-b+c)) = ab$
$a(b(-b+c)) = ab$
$a(b(-b)+bc)) = ab$
$a(0+bc) = ab$
$abc = ab$
Se $ab = abc$, $ab \leq c$, $\blacksquare$.