Seja $F$ um ultrafiltro.

Se $a \in F$, $-a \notin F$, pois $a.(-a) = 0$, e $0 \notin F$.

Se $a \notin F$, $F \cup \{a\}$ não é filtro, logo, $\exists c \in F$ tal que $a.c = 0$.

Se $a.c = 0$, $c \leq -a$. Se $c \leq -a$ e $c \in F$, $-a \in F$.

Vamos supor que $a \notin F$ e $b \notin F$.

Temos, então, que $-a \in F$ e $-b \in F$. Consequentemente, $(-a)(-b) \in F$.

Se $(-a)(-b) \in F$ e $a+b \in F$, $(-a)(-b)(a+b) \in F$. Mas $(-a)(-b)(a+b) = 0$, e $0 \notin F$. Ou seja, chegamos em uma contradição.

Logo, $a \in F$ ou $b \in F$.

Vamos supor que F não é ultrafiltro. Então, $\exists c \notin F$ tal que $F \cup \{ c \}$ é filtro.

Se $F \cup \{ c \}$ é filtro, $-c \notin F$. Mas $c + (-c) = 1$, e $1 \in F$. Se $c + (-c) \in F$, $c \in F$ ou $-c \in F$, o que é uma contradição.

Logo, F é ultrafiltro.