Definição Uma álgebra de Boole é um conjunto $A$, munido de duas operações binárias $+$ e $\cdot$ e uma unitária $-$ com dois elementos denotados por $0, 1 \in A$ tais que, para todo $a, b, c \in A$:
Normalmente denotamos por $ab$ em vez de $a \cdot b$.
Observação Ao longo das demonstrações, nos referiremos a essas definições como proposições de 1 a 5.
Exemplo Seja $X$ um conjunto, $\wp(X)$ com as operações de $\cup$, $\cap$ e $\smallsetminus$ (complementar) formam uma álgebra de Boole Detalhes
Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $a,0,1 \in A$, $a1 = a$ e $a+0 = a$ Demonstração
Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $a,0,1 \in A$, $a+a = aa = a$ Demonstração
Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $a,0,1 \in A$, $a0 = 0$ e $a+1 = 1$ Demonstração
Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $0,1 \in A$, $-0 = 1$ e $-1 = 0$ Demonstração
Proposição Existe uma única álgebra de Boole com dois elementos Demonstração
Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $a, b \in A$, defina $a \leq b$ se $ab = a$.
Proposição A relação $\leq$ é uma ordem parcial Demonstração
Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dados $a, a', b, b' \in A$, se $a \leq b$ e $a' \leq b'$, então $aa' \leq bb'$ Demonstração
Proposição Para todo $a \in A$, $0 \leq a \leq 1$ Demonstração
Proposição $a \leq b$ se, e somente se, $a + b = b$ Demonstração
Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Sejam $a, b \in A$. Denotamos por $a - b = a \cdot (-b)$.
Proposição $a \not \leq b$ se, e somente se, $a - b \neq 0$ Demonstração
Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Sejam $a, b \in A$. Denotamos por $a \Rightarrow b = -a + b$.
Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Sejam $a,b,c \in A$. $ab \leq c$ se, e somente se, $a \leq (b \Rightarrow c)$. Demonstração
Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dizemos que $F \subset A$ é um filtro se:
Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dizemos que $E \subset A$ é centrado se para todo $a_1, \ldots, a_n \in E$ temos que $a_1 \cdots a_n \neq 0$.
Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Seja $E \subset A$ não vazio e centrado. $F = \{a \in A: \exists b_1, \ldots, b_n \in E\ b_1 \cdots b_n \leq a\}$ é um filtro sobre $A$. Chamamos este de filtro gerado por $E$. Demonstração
Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dado $F \subset A$ filtro, dizemos que $F$ é um ultrafiltro se $F$ é um filtro maximal com relação a inclusão.
Proposição Seja $F$ um filtro sobre uma álgebra de Boole $A$. São equivalentes: Demonstração
Proposição Se $F$ é um filtro, então existe $F'\supset F$ ultrafiltro. Demonstração