Mostre que se $X \times Y$ é homeomorfo a $\mathbb{R}$, então $X$ é unitário ou $Y$ é unitário. === Solução === Sejam $X, Y$ conexos tais que $X \times Y$ é homeomorfo a $\mathbb{R}$. Suponhamos, por contradição que $X, Y$ são não unitários e não vazios. Dado $(a, b) \in X \times Y$, vamos mostrar que $X \times Y - \{(a,b)\}$ é conexo. \\ Seja $x_0 \in X - \{a\} \text{ e } y_0 \in Y - \{b\} \text{ e } (x, y) \in X \times Y - \{(a,b)\}$. Mostremos que $(x, y) \text{ e } (x_0, y_0)$ estão na mesma componente conexa de $X \times Y - \{(a,b)\}$.\\ \\ **Caso $x \neq a$:** Como $X, Y$ são conexos, temos que $( \{x\} \times Y) \text{ e } (X \times \{y_0\})$ são conexos. Além disso, como $(x, y_0) \in ( \{x\} \times Y) \cap (X \times \{y_0\})$, temos que $( \{x\} \times Y) \cup (X \times \{y_0\})$ é conexo em $X \times Y - \{(a,b)\}$ e contém $(x, y) \text{ e } (x_0, y_0)$. **Caso $y \neq b$:** Como $X, Y$ são conexos, temos que $( X \times \{y\}) \text{ e } (\{x_0\} \times Y)$ são conexos. Além disso, como $(x_0, y) \in ( X \times \{y\}) \cap (\{x_0\} \times Y)$, temos que $( X \times \{y\}) \cup (\{x_0\} \times Y)$ é conexo em $X \times Y - \{(a,b)\}$ e contém $(x, y) \text{ e } (x_0, y_0)$. Em ambos os casos existe um conexo que contém $(x,y) \text{ e } (x_0, y_0)$, assim eles estão na mesma componente conexa. E como eles são pontos quaisquer, temos que $X \times Y - \{(a,b)\}$ é a própria componente conexa, ou seja, é conexo. \\ Portato, $X \times Y$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}$, pois para qualquer $x \in \mathbb{R}$ temos que $\mathbb{R} - \{x\}$ não é conexo.