==== Caracterização da topologia união disjunta usando continuidade (Exercício 3.4.3) ====

Seja $((X_i, \tau_i))_{i\in I}$ uma família de espaços topológicos. Para cada $i\in I$, considere $f_i: X_i\to \coprod_{i\in I}X_i$ dado por $f_i(x)=(i, x).$\\

**a) $f_i$ é contínuo, $\forall i\in I$.**\\

**Demonstração.** Seja $i\in I$, $U$ aberto em $\coprod_{j\in I}X_j$. Então, $U=\bigcup_{j\in I} (\{j\}\times U_j)$ com $U_j \in \tau_j$, o que implica que $f_i^{-1}(U)= f_i^{-1}(\bigcup_{j\in I} (\{j\}\times U_j))=\bigcup_{j\in I}f_i((\{j\}\times U_j))=U_i$. Portanto, $f_i$ é contínua.\\


**b) Mostre que a topologia que definimos sobre $\coprod_{i\in I}X_i$ e a topologia forte induzida pela família das $f_i$’s.**

**Demonstração.** Seja $\tau$ a topologia sobre $\coprod_{i\in I}X_i$, e seja $\nu$ a topologia sobre $\coprod_{i\in I}X_i$ com $\tau\subseteq \nu$ tal que $f_i$'s são contínuos. Seja $U\in \nu$, logo $f_i^{-1}(U)$ é aberto em $X_i$. Como $U = \bigcup_{j\in I} (\{j\}\times f_j^{-1}(U))$, então $U\in \tau$.