========= Topologia Quociente =========

Nesta seção definiremos o conceito de Topologia Quociente, o qual pode ser apresentado de duas maneiras, uma utilizando da noção de topologia forte e outra através de aplicações quocientes. 

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=== Definição ===
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $\sim$ uma relação de equivalência sobre $X$. Chamamos de a //topologia quociente// sobre $X / \sim$ a topologia forte induzida pela família da aplicação $\{ \pi \}$, em que $\pi: X \to X / \sim$ é a aplicação projeção definida por $\pi(x) = \tilde{x}$, com $\tilde{x} = \{ y \in X: y \sim x \}$.  
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Disso, segue que a topologia quociente sobre o conjunto $X / \sim$ é o conjunto $\{ V \subset X: \pi^{-1}(V) \in X \}$. 

Agora, sejam $(X, \theta)$ e $(Y, \tau)$ dois espaços topológicos e $\pi: X \to Y$ uma aplicação sobrejetora. Dizemos que $\pi$ é uma //aplicação quociente// desde que um subconjunto $V \subset Y$ é aberto em $Y$ se, e somente se, a pré-imagem $\pi^{-1}(V)$ é aberto em $X$. Segue, desse conceito, o resultado que caracteriza a topologia quociente. 

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=== Proposição ===
Sejam $(X, \theta)$ um espaço topológico, $Y$ um conjunto arbitrário e $\pi: X \to Y$ uma aplicação sobrejetora. Então, existe uma única topologia $\tau$ em $Y$ relativa a qual $\pi$ é uma aplicação quociente. Nesse caso, $\tau$ é chamada a //topologia quociente// induzida por $\pi$.
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**Demonstração:** Definimos $\tau$ pondo 
$$\tau = \{ V \subset Y : \pi^{-1}(V) \ \acute{e} \ aberto \ em \ X \}.$$
Isso posto, se torna fácil de notar que os conjuntos triviais $Y$ e $\emptyset$ são abertos, pois
$$\pi^{-1} (Y) = X \ \ e \ \ \pi^{-1}(\emptyset) = \emptyset.$$
As duas outras condições, para que a coleção $\tau$ seja uma topologia em $Y$, seguem das equações 
$$\pi^{-1} \bigg( \bigcup_{\alpha \in I} V_\alpha \bigg) = \bigcup_{\alpha \in I} \pi^{-1}(V_\alpha) \ \ \ e \ \ \ \pi^{-1} \bigg( \bigcap_{i=1}^n V_i \bigg) = \bigcap_{i=1}^n \pi^{-1}(V_i),$$
em que $\{ V_\alpha : \alpha \in I \}$ e $\{V_i : i=1, 2, ... , n \}$ são duas famílias de elementos de $\tau$. Com isso, finaliza-se a demonstração.

A topologia quociente em $X / \sim$, como apresentada nesta seção, é definida precisamente de modo a valer a seguinte proposição.

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=== Proposição ===
Sejam $\sim$ uma relação de equivalência sobre um espaço topológico $X$ e $X / \sim$ o respectivo espaço quociente. Então, valem: \\

1) A aplicação quociente $\pi: X \to X / \sim$ é contínua; \\
    
2) Considere uma aplicação contínua $f: X \to Y$ tal que, para quaisquer $x, y \in X$, com $x \sim y$, tem-se $f(x) = f(y)$. Então, existe uma única aplicação contínua $\overline{f}: X / \sim \ \to Y$ tal que o diagrama \\

[[ https://sites.icmc.usp.br/aurichi/wikimat/lib/exe/fetch.php?w=120&h=103&t=1622574706&tok=95fd34&media=topologia:screenshot_20210601-160909_drive.jpg |{{screenshot_20210601-160909_drive.jpg?200}}]]   
   
comuta, isto é, $\overline{f} \circ \pi = f$. 
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**Demonstração:** Seja $V \subset X / \sim$ um aberto em $X / \sim$. Logo, pela construção da topologia de $X / \sim$, temos que $\pi^{-1}(V)$ é um elemento de $ \tau$, provando a continuidade de tal aplicação. Considere agora dois pontos $x , y$ de $X$, tais que $x \sim y$ e defina uma aplicação $\overline{f}: X / \sim \ \to Y$ pondo $\overline{f}([x]) = f(x)$. Note que
$$(\overline{f} \circ \pi ) (x) = \overline{f}( \pi (x) ) = \overline{f}([x]) = f(x),$$
e é claro que, como $x \sim y$,  
$$(\overline{f} \circ \pi)(x) = f(x) = f(y) = (\overline{f} \circ \pi) (y).$$
A continuidade de $\overline{f}$ segue da igualdade $\overline{f} \circ \pi = f$. Suponha agora que exista uma outra aplicação contínua $\overline{f_2}$ de forma que $\overline{f_2} \circ \pi = f$. Então,
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
    (\overline{f_2}\circ \pi) (x) &= \overline{f_2} (\pi (x) ) \\
    &= \overline{f_2} ([x]) = f(x)\\
    &= \overline{f} ([x]),
    \end{aligned}
\end{equation*}
mostrando que $\overline{f_2} = \overline{f}$, como queríamos.


==== Exemplos: ====

  * [[.:topquociente:egtopquociente1|Intervalo [0,1] com extremos "grudados"]]
  * [[.:exemplo:ventenum|Espaço do Ventilador (Enumerável)]]
  * [[.:exemplo:espvent|Espaço do Ventilador (Não enumerável)]]