====== Topologia Quociente ======

O quociente pode ser encarado como um caso particular de uma construção mais geral: a topologia forte.

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=== Definição: Topologia Forte ===
Considere $\mathcal{F}=\left\{f_{i}: i \in I\right\}$ família de funções, onde cada $f_{i}: Y_{i} \rightarrow X$, onde $\left(Y_{i}, \tau_{i}\right)$ é um espaço topológico. Chamamos de topologia forte em $X$ induzida por $\mathcal{F}$ a maior topologia sobre $X$ tal que cada $f_{i}$ é contínua.
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  * Seja $\mathcal{F}=\left\{f_{i}: i \in I\right\}$ familia de funções da forma $f_{i}: Y_{i} \rightarrow X$ onde cada $\left(Y_{i}, \tau_{i}\right)$ é um espaço topológico. Mostre que $\tau=\{V \subset X:$ $f_{i}^{-1}[V] \in \tau_{i}$ para todo $\left.i \in I\right\}$ é a topologia forte sobre $X$.

  * Mostre a seguinte generalização do Teorema 4.2.4. Seja $\mathcal{F}=\left\{f_{i}: i \in I\right\}$ familia de funções da forma $f_{i}: Y_{i} \rightarrow X$ onde cada $\left(Y_{i}, \tau_{i}\right)$ é um espaço topológico. Seja $\tau$ uma topologia sobre $X$. Então $\tau$ é a topologia forte induzida por $\mathcal{F}$ se, e somente se, vale o seguinte critério: dada $g: X \rightarrow Z$, onde $Z$ é um espaço topológico, $g$ é continua se, e somente se, cada $g \circ f_{i}: Y_{i} \rightarrow Z$ é contínua.

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Suponha que a topologia é forte, então vale o critério. Depois suponha que o critério é verdadeiro e mostre que a topologia é forte. Considere a função identidade $I_d: X \rightarrow X$.
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=== Definição: Topologia Quociente  ===
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $\sim$ uma relação de equivalência sobre $X$. Chamamos de topologia quociente sobre $X / \sim a$ topologia forte induzida pela família $\{\pi\}$ onde $\pi: X \rightarrow X / \sim$ é a função projeção - isto é, $\pi(x)=\tilde{x}$, onde $\tilde{x}=\{y \in X: x \sim y\}$.
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  * Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $\sim$ uma relação de equivalência sobre $X$. Mostre que a topologia quociente sobre $X / \sim$ é o conjunto $\left\{V \subset X / \sim: \pi^{-1}[V] \in \tau\right\} .$

  * Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $\sim$ uma relação de equivalência sobre $X$. Seja $\rho$ uma topologia sobre $X / \sim$. Mostre que $\rho$ é a topologia quociente se, e somente se, para toda $g: X / \sim \rightarrow Z, g$ é contínua se, $e$ somente se, $g \circ \pi$ é contínua.

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  * Considere $(X, \tau)$ espaço topológico. Defina $x \sim y$ para $x, y \in X$ se, para todo $V \in \tau, x \in V$ se, e somente se, $y \in V$. Mostre que, de fato, $\sim$ é uma relação de equivalência sobre $X$. 

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Vejamos que $X / \sim$ é um espaço $T_{0}$.
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  * Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos e $f: X \rightarrow Y$ sobrejetora. Mostre que se, para cada $V \subset Y$, temos $V \in \rho$ se, e somente se, $f^{-1}[V] \in$ $\tau$, então existe uma relação de equivalência $\sim$ sobre $X$ e $\varphi: Y \rightarrow X / \sim$ homeomorfismo tal que $\pi=\varphi \circ f$.

  * Considere $X=\left\{\left(n, \frac{1}{k}\right): n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{N}_{>0}\right\} \cup\{(n, 0): n \in \mathbb{N}\}$ com a topologia usual de $\mathbb{R}^{2}$. Considere também a seguinte relação de equivalência sobre $X$ : $x \sim y \text { se, e somente se, }$ $x=y$ ou $(x=(n, 0)$ e $y=(m, 0))$ para algum $m, n \in \mathbb{N}.$ Vamos chamar de $F$ o espaço $X / \sim$ com a topologia quociente. 

        - Note que este espaço é enumerável. Mostre que o ponto $\widetilde{(0,0)}$ não admite uma base local enumerável.
        - Dada $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, considere $A_{f}=\left\{\widetilde{(0,0)\}} \cup\left\{\widetilde{\left(n, \frac{1}{m}\right)}: n \in \mathbb{N}, m>f(n)\right\}\right.$. Mostre que $\left\{A_{f} \mid f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\right\}$ é uma base local para $\widetilde{(0,0)}$.
        -  Suponha que existe $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $\left\{A_{f_{n}}: n \in \mathbb{N}\right\}$ forme uma base para $\widetilde{(0,0)}$. Seja $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dada por: $g(n)=\max \left\{f_{k}(n): k \leq n\right\}+1.$ Conclua que $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ não pode ser base.

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=== Observação  ===
O exercício acima é conhecido como espaço do ventilador (fan space).
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