===== Compactificação de Stone–Čech dos naturais =====

Nesta página enunciamos e provamos algumas propriedade da compactificação de Stone–Čech $\beta\mathbb{N}$ dos números naturais.

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=== Proposição 1 ===
Seja $F$ um subespaço fechado e infinito de $\beta\mathbb{N}$. Então $F$ contém um subespaço homeomorfo a $\beta\mathbb{N}$.

<wrap help>[[prova1stoneN|Demonstração]]</wrap>
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=== Intuição 2 ===
Os números reais tem uma propriedade semelhante à Proposição 1: dado um subespaço //aberto// e infinito $A$ de $\mathbb{R}$, existe um intervalo $(a,b)\subset A$ tal que $(a,b)\cong\mathbb{R}$. A ideia da Proposição 1 é que essa propriedade vale para $\beta\mathbb{N}$, mas para subespaços fechados ao invés de abertos.
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=== Corolário 3 ===
Se $F\subset\beta\mathbb{N}$ é infinito, então $|F|=|\beta\mathbb{N}|$.
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=== Corolário 4 ===
O espaço $\beta\mathbb{N}$ é compacto, mas nenhuma sequência não trivial em $\beta\mathbb{N}$ converge.
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