====== Sequencialmente Compactos ======

Para espaços métricos existe uma relação forte entre a compacidade do espaço e convergência de suas sequências. Veremos uma dessas relações aqui, quando toda sequência admite subsequência convergente.
 
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Um espaço topológico $ X $ é dito sequencialmente compacto quando toda sequencia de pontos de $ X $ possui uma subsequência convergente em $ X $.  
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Ser compacto ou ser sequencialmente compacto são propriedades que, em geral, não se implicam em nenhuma das duas direções. Como exemplo temos o espaço $ \beta N $ que é compacto mas não sequencialmente compacto e o espaço [[topologia:exemplo:oprimeiroordinalnaoenumeravel|$ \omega_{1} $]] que é sequencialmente compacto mas não compacto. Entretanto, quanto considerado espaços métricos obtemos a equivalência entre os dois. 

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=== Proposição 1===
Seja $ X $ um espaço $ T_{1} $, compacto, que admite base local enumerável. Então $ X $ é sequencialmente compacto.
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**Demonstração:** Seja $ (x_{n}) $ uma sequência em $ X $ qualquer. Se o conjunto $ A = \{x_{n} \mid n \in \mathbb{N}\} $ for finito então $ (x_{n}) $ possui uma subsequência constante, suponha que $ A $ é infinito. 
Sendo $ X $ compacto, o conjunto $ A $ possui um ponto de acumulação $ x $. Por hipótese existe uma base local e enumerável $ \mathscr{B} = \{B_{n} \mid n \in \mathbb{N}\} $ para $ x $, suponha que $ B_{n} \subset B_{m} $ para todo $ n \geqslant m $.

Seja $ i_{0} $ tal que $ x_{i_{0}} \in B_{0} \smallsetminus \{x\} $. Indutivamente, dado $ n \geqslant 0 $ suponha já tenhamos escolhido $ x_{i_{k}} \in B_{k} \smallsetminus \{x\} $ para todo $ k \leqslant n $. O conjunto $ B_{n+1} \smallsetminus \{x_{i_{k}} \mid k \leqslant n\} $ é aberto, pois $ X $ é $ T_{1} $, e contem $ x $, portanto existe $ i_{n+1} > i_{n} $ tal que

$$
x_{i_{n+1}} \in B_{n+1} \smallsetminus \{x, x_{i_{0}}, \dots, x_{i_{n}} \},
$$

pois $ x $ é ponto de acumulação de $ A $.

Note que $ x_{i_{n}} \to x $. <wrap right>$\square$</wrap>

Todo espaço métrico é $ T_{1} $ e possui bases locais enumeráveis. Logo compacto implica sequencialmente compacto, no caso dos espaços métricos. Nos falta apenas a outra direção.

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=== Proposição 2===
Seja $ (X,d) $ um espaço métrico sequencialmente compacto. Dada uma cobertura aberta $ \mathscr{C} $ de $ X $ existe um $ r>0 $ tal que, para todo $ x \in X $, existe um $ C \in \mathscr{C} $ com $ B_{r}(x) \subset C $. 
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<WRAP tip>
Um $ r $ como no enunciado dessa proposição é chamado de número de Lebesgue da cobertura $ \mathscr{C} $.
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**Demonstração:** Prosseguimos por absurdo. Suponha que a cobertura $ \mathscr{C} $ não possui número de Lebesgue. Então para todo $ n \in \mathbb{N} $ existe $ x_{n} \in X $ tal que $ B_{\frac{1}{n}}(x_{n}) \not\subset C $ para todo $ C \in \mathscr{C} $. 

Por hipótese, existe uma subsequência $ (x_{i_{k}}) $ que converge para algum $ x \in X $. Seja $ C \in \mathscr{C} $ um aberto que contenha $ x $, então existe $ n>0 $ tal que $ B_{\frac{2}{n}}(x) \subset C $. Uma vez que $ (x_{i_{k}}) $ converge para $ x $ existe um $ i_{k} > n $ tal que $ x_{i_{k}} \in B_{\frac{1}{n}}(x) $. Seja $ y \in B_{\frac{1}{i_{k}}}(x_{i_{k}}) $, então 

$$
d(x,y) \leqslant d(x,x_{i_{k}}) + d(x_{i_{k}},y) < \frac{1}{n} + \frac{1}{i_{k}} < \frac{2}{n}.
$$

Portanto $ B_{\frac{1}{i_{k}}}(x_{i_{k}}) \subset B_{\frac{2}{n}}(x) \subset C $, um absurdo. <wrap right>$\square$</wrap>

Finalmente, temos:

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=== Proposição 3===
Seja $ (X,d) $ um espaço métrico sequencialmente compacto. Então $ X $ é compacto.
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**Demonstração:** Suponha que exista uma cobertura aberta para $ X $ sem subcobertura finita. Pela Proposição 2 existe $ r>0 $, número de Lebesgue da cobertura. Tome $ x_{0} \in X $ qualquer e seja $ C_{0} \in \mathscr{C} $ tal que $ B_{r}(x_{0}) \subset C_{0} $. Dado $ n \geqslant 0 $ seja 

$$
x_{n+1} \in X \smallsetminus \bigcap_{k=0}^{n} C_{k},
$$

note que sempre é possível fazer essa escolha pois $ \mathscr{C} $ não possui subcobertura finita.

Para quaisquer $ n > m $ temos $ x_{n} \notin C_{m} \supset B_{r}(x_{m}) $, portanto $ d(x_{n},x_{m}) \geqslant r $. Assim $ (x_{n}) $ não tem subsequência convergente, pois nenhuma subsequência pode satisfazer o critério de Cauchy, um absurdo. <wrap right>$\square$</wrap>

Agora, podemos sumarizar os resultamos a cima como:

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=== Corolário 1===
Seja $ (X,d) $ um espaço métrico. Então são equivalentes
  - $ X $ é compacto.
  - Todo subconjunto infinito de $ X $ possui ponto de acumulação.
  - $ X $ é sequencialmente compacto.
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**Demonstração:** Na [[topologia:ptoacumulu|página]] vemos que 1 implica 2.  

Se vale 2, então dada uma sequência $ (x_{n}) $ então ou $ A = \{x_{n}\} $ é finito e a sequência possui uma subsequência constante ou $ A $ é infinito e, por hipótese, admite um ponto de acumulação $ x \in X $. Segue que existe uma subsequência de $ (x_{n}) $ que converge para $ x $. Portanto 2 implica 3.  

Pela Proposição 3. vemos que 3 implica 1. <wrap right>$\square$</wrap>

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=== Corolário 2===
Seja $ (X,d) $ um espaço métrico compacto, então $ X $ é completo.
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**Demonstração:** Dada uma sequência de Cauchy em $ X $ existe uma subsequência convergente, mas então, por ser Cauchy, a sequência toda converge para um ponto em $ X $. <wrap right>$\square$</wrap>