==== Compacidade e axiomas de separação ====

A principal propriedade que abordaremos é que em [[topologia:espacoHausdorff|Espaços de Hausdorff]], os [[topologia:subespaco|subespaços]] [[topologia:defcompacto|compactos]] de um espaço compacto consistem exatamente nos subconjuntos [[topologia:fechado|fechados]] deste espaço. No entanto, em geral, os subconjuntos fechados de um compacto são compactos, como veremos a seguir. 

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=== Proposição ===
Seja $(X,\tau)$ espaço compacto e seja $F \subset X$ fechado. Então $F$ é compacto. <wrap help>[[dem:demo1|Demonstração]]</wrap>
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  * É fácil perceber que o resultado anterior é verdade apenas se o espaço base for compacto, tendo em vista que o espaço base é sempre fechado. 
  * Em geral, não é verdade que subespaços compactos de espaços compactos são fechados. <wrap help>[[.:ex|Exemplo]]</wrap>
</WRAP>
Como [[topologia:separacompacto| Espaços de Hausdorff separam pontos de compactos]], então, neste caso, os subespaços compactos de espaços compactos são fechados. 

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=== Proposição ===
Sejam $(X, \tau)$ um espaço compacto de Hausdorff e $F \subset X$ um conjunto. Então, $F$ é fechado se, e somente se, $F$ é compacto. <wrap help>[[dem:demo2|Demonstração]]</wrap>
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Também, como [[topologia:separacompacto| Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos]], então, em espaços compactos, basta a propriedade de Hausdorff para termos a [[topologia:espacoNormal|normalidade]]. 

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=== Proposição ===
Todo espaço compacto de Hausdorff é normal. <wrap help>[[dem:demo3|Demonstração]]</wrap>
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=== Veja também ===
  * [[topologia:compcontinua| Compacidade e funções contínuas]]
  * [[topologia:localmentecompacto| Compacidade local]]
  * [[topologia:toptychonoff| Teorema de Tychonoff]]