==== Separabilidade ====


=== Definição ===
<WRAP round box 47%>
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $D \subset X$ é **denso** em $X$ se $\overline{D}=X$.
</WRAP>

A caracterização de densos apresentada a seguir é importante para demonstrações posteriores.


\\ === Proposição ===
<WRAP round box 80%>
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. $D \subset X$ é denso se, e somente se, para todo aberto não vazio $A$, $A \cap D \neq \emptyset$. [[.:dem:demoprop|Demonstração]]
</WRAP>

\\ === Definição ===
<WRAP round box 80%>
Dizemos que $(X,\tau)$ satisfaz o **terceiro axioma de enumerabilidade** (3rd countable) se admite um subconjunto denso enumerável. Nesse caso dizemos que $(X,\tau)$ é um espaço **separável**, como é mais conhecido.
</WRAP>

O segundo axioma de enumerabilidade implica no terceiro.

\\ === Proposição ===
<WRAP round box 80%>
Se um espaço topológico $(X,\tau)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então ele é separável.
[[.:dem:demoprop1|Demonstração]]
</WRAP>


\\ === Exemplo ===
Todo subespaço de um espaço que tenha base enumerável é separável. [[.:dem:exemplo|Demonstração]]


\\ A [[topologia:exemplo:retadesorgenfrey|Reta de Sorgenfrey]] é separável, mas não tem base enumerável. A volta da proposição acima não é válida, exceto quando temos espaços métricos.


\\ === Proposição ===
<WRAP round box 80%>
Se $(X,d)$ é um espaço métrico separável, então $(X,d)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.
[[.:dem:demoprop2|Demonstração]]
</WRAP>

\\ === Definição ===
<WRAP round box 80%>
Dizemos que o espaço topológico $(X,\tau)$ é um **espaço metrizável** se existe uma métrica sobre $X$ que induz a topologia $\tau$.
</WRAP>

=== Exemplo ===

A [[topologia:exemplo:retadesorgenfrey|Reta de Sorgenfrey]] é um exemplo de espaço não metrizável, pois é separável, mas não admite base enumerável. Então pela proposição anterior, ele não é metrizável.


\\ === Propriedades hereditárias ===
<WRAP round box 100%>
Uma propriedade P de um espaço topológico $X$ é dita ser hereditária se, e somente se, todo subespaço de $X$ também possui a propriedade P. 
Vimos que todo subespaço de um espaço que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade também satisfaz o esse mesmo axioma. O mesmo acontece para o segundo axioma de enumerabilidade. No caso de subespaço de um espaço separável necessariamente não acontece.
</WRAP>


=== Exemplo ===
Considere $\mathbb {R}$ com a topologia usual. Seja $Y=\mathbb {R}$ \ $\mathbb {Q}$. Sabemos que $\mathbb {R}$ é separável, pois $\mathbb {Q}$ é um subconjunto denso enumerável de $\mathbb {R}$. Porém, $Y$ não é separável, pois não existe um subconjunto enumerável de números irracionais denso pertencente a $\mathbb{Q}$ que esteja em $Y$. 

\\ Existe uma relação entre os três axiomas de enumerabilidade:

<WRAP center round box 50%>
separável     $\Leftarrow$     segundo axioma de enumerabilidade     $\Rightarrow$     primeiro axioma de enumerabilidade
</WRAP>