=== Proposição: ===
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico regular com base enumerável. Então $(X,\tau)$ é paracompacto. 

Prova: Seja $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta de $X$. Seja $\mathcal{B}$ uma base enumerável para $X$. Para cada $x\in X$, existe $C\in \mathcal{C}$ tal que $x\in C$. Como $C$ é aberto, existe $C_x\in \mathcal{B}$ tal que $x\in C_x \subset C$. Como $(X,\tau)$ é regular, existe $B$ aberto tal que $x\in B \subset \overline{B} \subset C_x$, e portanto existe $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $x\in B_x\subset B$. Logo, para cada $x\in X$ temos $C\in \mathcal{C}$, $B_x$, $C_x \in \mathcal{B}$ tais que $x\in B_x\subset \overline{B_x} \subset C_x \subset C$. 

Como $\mathcal{B}$ é enumerável, tome $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ tal que $\{B_{x_n}: \, n\in \mathbb{N}\}=\{B_x: \, x\in X\}$. 

Defina $W_0=C_{x_0}$ e $W_n=C_{x_n}\setminus \bigcup_{k<n}\overline{B_{x_k}}$, para $n>0$. Note que $W_n$ é aberto para qualquer $n\in \mathbb{N}$. Vamos provar adiante que $\{W_n: n\in \mathbb{N}\}$ é o refinamento de $\mathcal{C}$ desejado.

  * $\{W_n: n\in \mathbb{N}\}$ cobre $X$. De fato, se $x\in X$, $x\in B_x$, logo $x$ pertence a pelo menos um elemento de $\{B_{x_n}:\, n\in \mathbb{N}\}$. Seja $k$ o menor natural tal que $x\in \overline{B_{x_k}}\subset C_{x_k}$. Note que $x\in W_k$.
  * É refinamento de $\mathcal{C}$. De fato, para cada $n\in \mathbb{N}$, $W_n \subset C_{x_n} \subset C$ para algum $C\in \mathcal{C}$.
  * É localmente finito. Com efeito, seja $x\in X$ e $j$ o menor natural possível tal que $x\in B_{x_j}$. Note que, pela maneira como $W_n$ foi definido, temos $W_n\cap B_{x_j}=\varnothing$ para todo $n>j$. Ou seja, $\{W_n: W_n\cap B_{x_j} \neq \varnothing\}$ é finito.