====== Propriedades de Compactos ======

  * Mostre que, com a topologia usual, $\mathbb{R}$ não é compacto.

  * Mostre que a reta de Sorgenfrey não é compacta.

Verificar a compacidade pela definição muitas vezes é trabalhoso, o resultado dado no exercício a seguir nos ajudará a fazer isso de uma maneira mais simples: 

  * Seja $(X,\tau)$ espaço compacto e $F\subset X$ fechado. Mostre que $F$ é compacto. 

Se um espaço é de Hausdorff, ele separa pontos de compactos. 

  * Seja $(X, \tau)$ um espaço de Hausdorff. Sejam $x\in X$ e $K\subset X$ compacto tal que $x\notin K$. Mostre que existem $A$ e $B$ abertos tais que $x\in A$, $K\subset B$ e $A\cap B=\emptyset$. 

  * Uma implicação do resultado anterior é que, em espaços de Hausdorff, os compactos são fechados. Sejam $(X,\tau)$ um espaço de Hausdorff e $F\subset X$ compacto, prove que $F$ é fechado. 

De acordo com o que foi demonstrado nos itens anteriores, observe que, seja $(X,\tau)$ um espaço compacto de Hausdorff e $F\subset X$ um conjunto. Então, $F$ é fechado se, e somente se, $F$ é compacto. 

  * Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff e $F, G\subset X$ compactos disjuntos. Mostre que existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $F\subset A$ e $G\subset B$, isto é, que espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos. 

  * Mostre que todo espaço compacto de Hausdorff é normal. 

Vejamos, a seguir, um resultado muito importante sobre a compacidade: ela é preservada pela continuidade. 

  * Sejam $(X,\tau)$, $(Y,\sigma)$ espaços topológicos onde $X$ é compacto e $f:X\to Y$ uma função contínua. Prove que: 
    * Se $f$ é sobrejetora, então $Y$ é compacto. 
    * Se $(X,\tau)$, $(Y,\sigma)$ são espaços de Hausdorff e $f$ é bijetora, então é um homeomorfismo. 

  * Mostre que $[0,1]$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}$.

  * Sejam $(X,\tau)$, $(Y,\sigma)$ espaços topológicos, sendo $Y$ espaço de Hausdorff e $f:X\to Y$ uma função contínua. Mostre que se $F\subset X$ é compacto, então $f[F]$ é fechado. 

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=== Definição: Espaço localmente compacto  ===
Dizemos que o espaço topológico $(X,\tau)$ é **localmente compacto** se todo $x\in X$ admite um sistema fundamental de vizinhanças compactas.
</WRAP>

  * Seja $(X,\tau)$ um espaço de Hausdorff. Mostre que: 
    * Se $X$ é compacto, então $X$ é localmente compacto. 
    * $X$ ser localmente compacto não implica em $X$ ser compacto. 

<WRAP tip>
Mostre que $\mathbb{R}$ com a topologia usual é localmente compacto. 
</WRAP>

  * Seja $(X,\tau)$ espaço de Hausdorff. Mostre que $(X,\tau)$ é localmente compacto se, e somente se, para todo $x\in X$ existe $V$ aberto tal que $x\in V$ e $\overline{V}$ é compacto. 

  * Seja $(X,\tau)$ Hausdorff. Mostre que $X$ é localmente compacto se, e somente se, para cada $x\in X$ existe $\mathcal{V}$ sistema fundamental de vizinhanças para $x$ tal que $\overline{V}$ é compacto para cada $V\in\mathcal{V}$.

  * Seja $(X,\tau)$ Hausdorff. Mostre que $X$ é localmente compacto se, para todo $x\in X$ existe $K$ vizinhança compacta de $x$. 

  * Mostre que a reta de Sorgenfrey não é localmente compacta

Para espaços espaços de Hausdorff, a compacidade implica na normalidade. Para espaços localmente compactos, é possível garantir a propriedade de ser completamente regular. 

  * Prove que, se $(X,\tau)$ é um espaço localmente compacto de Hausdorff, então é completamente regular. 

<WRAP tip>
Seja $V$ vizinhança compacta de $x$, note que $V$ é completamente regular. Estenda a função definida em $V$ para $X$ e, por fim, mostre que essa nova função é a função desejada.
</WRAP>

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=== Definição: Compactificação  ===

Seja $(X,\tau)$ espaço de Hausdorff. Dizemos que $(Y,\sigma)$ espaço de Hausdorff é uma **compactificação** de $X$ se $X$ é um subespaço denso de $Y$ e $(Y,\sigma)$ é compacto. 
</WRAP>

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=== Definição: Compactificação de Alexandroff ===

Dizemos que uma compactificação $(Y,\sigma)$ é uma **compactificação de Alexandroff** se $Y=X\cup\{x\}$ onde $x\notin X$. 
</WRAP>

  * Seja $(X,\tau)$ espaço topológico de Hausdorff que admite compactificação. Mostre que $(X,\tau)$ é completamente regular. 
  * Considere $(X,\tau)$ espaço localmente compacto. Defina $Y=X\cup\{x\}$ onde $x\notin X$. Defina $\sigma$ topologia sobre $Y$ de forma que $\tau\subset\sigma$ e todo $\{x\}\cup(X\setminus K)\in\sigma$ onde $K\subset X$ é compacto. Mostre que $(Y,\sigma)$ é uma compactificação de Alexandroff de $X$.
  * Seja $(X,\tau)$ espaço de Hausdorff e suponha que exista $(Y,\sigma)$ compactificação de Alexandroff para $X$. Mostre que $(X,\tau)$ é localmente compacto.
  * Conclua que um espaço de Hausdorff é localmente compacto se, e somente se, admite uma compactificação de Alexandroff.

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=== Definição: Suporte de uma função ===
Considere $\mathcal{F}$ o conjunto de todas as funções $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, não necessariamente contínuas. Considere sobre $\mathcal{F}$ a topologia produto (induzida por $\prod_{x\in\mathbb{R} }\mathbb{R}$). Chama-se de **suporte** de uma função $f$ o conjunto $\overline{\{x\in\mathbb{R}:f(x)\neq 0\}}$.

</WRAP>

  * Mostre que o conjunto das funções contínuas de suporte compacto é denso em $\mathcal{F}$.