===== Produto finito entre espaços topológicos =====

Vamos tratar do produto entre //dois// espaços topológicos, mas podemos generalizar (finitamente) o que segue via indução.

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=== Definição ===

Sejam $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ [[topologia:espacotopologico|espaços topológicos]]. Definimos a **topologia produto** sobre $X\times Y$ como a [[topologia:topologiagerada|topologia gerada]] pelos conjuntos da forma $A\times B$, em que $A\in\tau$ e $B\in\sigma$.
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{{ :topologia:produtofinito.png?300 |}}

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**Pergunta:** todo aberto de $X\times Y$ é um conjunto da forma $A\times B$? Pense em $\mathbb{R}^2$ com a [[topologia:exemplo:retausual|topologia usual]].
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<WRAP center round tip 100%>
Se $\mathcal{B_1}$ e $\mathcal{B_2}$ são [[topologia:bases|bases]] para $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$, respectivamente, então $\mathcal{B}=\{B_1\times B_2:B_1\in\mathcal{B_1},B_2\in\mathcal{B_2}\}$ é base para $X\times Y$. <wrap help>[[topologia:produtofinitodemo1|Demo]].</wrap>
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=== Proposição ===
Se $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ são [[topologia:espacohausdorff|espaços de Hausdorff]], então $X\times Y$ é espaço de Hausdorff. <wrap help>[[topologia:produtofinitodemo2|Demo]].</wrap>
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=== Veja também ===
  * [[topologia:graficofechado| Função contínua (com codomínio de Hausdorff) tem gráfico fechado]]
  * [[topologia:definicaogeral| Caso geral]]
  * [[topologia:propriedadesbasicasproduto| Propriedades básicas]]
  * [[[topologia:boxtopology1| Topologia da caixa]]
  * [[topologia:teoremaimersao| Teorema da imersão]]
  * [[topologia:primeiroAEproduto| Axiomas de enumerabilidade]]