**Proposição**: Produto finito de conexos é conexo.

**a)**Sejam $(X, \tau),(Y, \sigma)$ conexos. Mostre que $X \times\{y\}$ é conexo para qualquer $y \in Y$. Use essa ideia e a Proposição 5.1.11 para mostrar que $X \times Y$ é conexo.

Vamos mostrar primeiramente que dados $(X, \tau), (Y,\sigma)$ conexos, temos que $X \times \{ y \}$ é conexo para qualquer $y \in Y$. Para isso, basta notarmos que a topologia produto em $X \times \{ y \}$ terão como abertos os conjunto $A \times \{ y \}$ ou $A \times \emptyset$ onde $A \in \tau$. Agora, tomemos $U, V$ abertos disjuntos de $X \times \{ y \}$ tais que $U \cup V = X \times \{ y \}$. Notemos que em pelo menos um dos abertos tomados sua segunda coordenada terá que ser $\{ y \}$ (caso contrário sua união não seria todo $X \times \{ y \}$). Suponhamos sem perda de generalidade que isso ocorra com $U$, assim $U = A \times \{ y \}$ onde $A \in \tau$. Caso $V = B \times \emptyset$ temos que $V = \emptyset$ e terminamos, assim $V = B \times \{ y \}$, o que implica que $X \times \{ y \} = (A \times \{ y \}) \cup (B \times \{ y \}) = (A \cup B) \times \{ y \} \implies A \cup B = X$, com $A$ e $B$ abertos disjuntos de $X$, mas como $X$ é conexo ou $A = \emptyset$ ou $B = \emptyset$, ou seja $U = \emptyset$ ou $V = \emptyset$. Notemos agora que podemos escrever $X \times Y = \underset{y \in Y}{\bigcup} C_{y}$, onde $C_{y} = (\{ x \} \times Y) \cup (X \times \{ y \})$, agora basta observarmos que os conjuntos da forma $C_{y}$ são conexos pois são união de dois conexos não disjuntos e dados $y \neq y'$ temos que $C_{y} \cap C_{y'} = \{ x \} \times Y \neq \emptyset$ e portanto $X \times Y = \underset{y \in Y}{\bigcup} C_{y}$ é conexo.


**b)** Conclua que produto finito de conexos é conexo.

Sejam $(X_{1}, \tau_{1}), \ldots,( X_{n}, \tau_{n})$ espaços topológicos conexos, vamos mostrar que $\underset{i = 1}{\overset{n}{\Pi}} X_{i}$ é conexo. Vamos fazer isso por indução. O caso $n = 2$ foi resolvido acima. Sejam agora $(X_{1}, \tau_{1}, \ldots,( X_{n - 1}, \tau_{n - 1})$ espaços topológicos conexos tal que $\underset{i = 1}{\overset{n - 1}{\Pi}} X_{i}$ seja conexo e $(X_{n},\tau{n})$ conexo. Notemos que $(\underset{i = 1}{\overset{n - 1}{\Pi}} X_{i}) \times X_{n}$ é conexo pois é produto de dois conexos, mas agora percebamos que $(\underset{i = 1}{\overset{n - 1}{\Pi}} X_{i}) \times X_{n}$ é homeomorfo à $\underset{i = 1}{\overset{n}{\Pi}} X_{i}$ ambos com a topologia produto respectiva. Como conexidade é um invariante topológico temos que $\underset{i = 1}{\overset{n}{\Pi}} X_{i}$ é conexo