===== Existem infinitos primos =====

Vamos provar que existem infinitos números primos a partir de argumentos relacionados à topologia.

<WRAP info>
Se \(a\in \mathbb{Z}\), \(b\in \mathbb{N}^*\), defina \(S(a,b):=\{a+bz: z \in \mathbb{Z}\}\). Considere a coleção de conjuntos: 
\(\tau:=\{A\subset \mathbb{Z} : \forall \space a \in A \text{, } \exists \space b \in \mathbb{N}^* \text{ tal que } S(a,b)\subset A\} \) 
</WRAP>


=== Esta coleção é uma topologia sobre \(\mathbb{Z}\) ===

De fato, o conjunto vazio pertence a \(\tau\) por nulidade, e \(\mathbb{Z} \in \tau\) pois se \(a\in \mathbb{Z}\), então escolhendo qualquer \(b \in \mathbb{N}^*\) temos \(S(a,b)\subset \mathbb{Z}\). 

Se \(\sigma \subset \tau\) e \(A= \underset{B\in \sigma}{\bigcup} B\), temos que \(A\in \tau\) pois se \(a\in A\), \(a\in B_0\) para algum \(B_0 \in \sigma \subset \tau\), e existe \(b \in \mathbb{N}^* \text{ tal que } S(a,b)\subset B_0 \subset A\). 

Se \(A\), \(B \in \tau\), temos \(A\bigcap B \in \tau\). De fato, se \(a\in A\bigcap B\), então existem \(b\), \(c\in \mathbb{N}^*\) tais que \(S(a,b)\subset A\), e \(S(a,c)\subset B\). Mas note que \(bc\in \mathbb{N}^*\) e \(\{a+bcz: z\in \mathbb{Z}\} \subset \{a+bz:z\in\mathbb{Z}\}\subset A\) e \(\{a+bcz: z\in \mathbb{Z}\} \subset \{a+cz:z\in\mathbb{Z}\}\subset B\). Daí, \(S(a,bc) \subset A\bigcap B\).

Note que se \(A\) é aberto e não-vazio, existem \(a\in A\) e um \(b\in \mathbb{N}^*\) tal que \(S(a,b)\subset A\), e como \(S(a,b)=\{a+bz: z\in \mathbb{Z}\}\) é infinito, temos que \(A\) é infinito.

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=== Uma classe de conjuntos abertos e fechados para \(\tau\) ===

Mostremos agora que, dados \(a\in \mathbb{Z}\) e \(b\in \mathbb{N}^*\), \(S(a,b)\) é aberto e fechado. Se \(c\in S(a,b)\), temos \(c=a+bz_0\), para algum \(z_0 \in \mathbb{Z}\), \(b\in \mathbb{N}^*\), e vale \(S(c,b)=\{a+bz_0+bz: z\in \mathbb{Z}\}=\{a+bz:z\in \mathbb{Z}\}\), então \(S(c,b)=S(a,b)\) e \(S(a,b)\in \tau\). Vamos mostrar agora que \(S(a,b)^c\) é aberto. De fato, é fácil ver que \(S(a,b)^c= \bigcup_{i=1}^{b-1}\{a+i+bz:z\in \mathbb{Z}\}\) — note que um número inteiro sempre pode ser escrito na forma \(a+i+bz_0\), para algum \(i\) inteiro entre zero e \(b-1\), e algum \(z_0 \in \mathbb{Z}\). Segue que \(S(a,b)^c\) é união de abertos, logo é aberto.

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=== Prova da infinitude dos primos ===

Vamos mostrar primeiramente que \(\mathbb{Z} \setminus \{-1,1\} = \underset{p \text{ é primo}}{\bigcup}S(0,p)\). Com efeito, se \(x\in \mathbb{Z} \setminus \{-1,1\}\), então temos duas possibilidades: se \(x=0\), então \(x\in S(0,2) \subset \underset{p \text{ é primo}}{\bigcup}S(0,p)\); se \(x\neq 0\), então como \(|x|\geq 2\), temos que \(|x|\) pode ser decomposto em fatores primos, ou seja \(|x|=p_1 \cdots p_n\), donde \(x=p_1 z\) onde \(z\in \mathbb{Z}\) (escolhido positivo ou negativo de acordo com o sinal de \(x\)), e \(x\in S(0,p_1)\subset \underset{p \text{ é primo}}{\bigcup}S(0,p)\). Para provar a outra inclusão, suponha que \(x\in \underset{p \text{ é primo}}{\bigcup}S(0,p)\), e temos \(x\in S(0,p_0)\), para algum \(p_0\) primo, então \(x\in \mathbb{Z} \setminus \{-1,1\}\). E a igualdade está provada.

Finalmente, provemos que o conjunto dos números primos é infinito. Suponha que seja finito, então \(\mathbb{Z} \setminus \{-1,1\} = \underset{p \text{ é primo}}{\bigcup}S(0,p)\) é uma união finita de conjuntos fechados, logo é fechado. Segue que \(\{-1,1\}\) é aberto, o que é uma contradição, já que se trata de um conjunto não-vazio e finito. Isso completa a prova.


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=== Curiosidade ===

Essa prova foi originalmente elaborada por um estudante de graduação, e publicada em 1955. Veja mais informações em:
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes|Wikipedia - Furstenberg's proof of the infinitude of primes]]