====== Funções de Peano não Injetora ======

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**Exercício 5.4.12**: Mostrar que não existe funções de Peano injetora.
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**Solução:** 

Supomos que existe uma função bijetora e contínua $f : [0,1] → [0, 1]^{2}$ Então primeiro vamos provar que a inversa $f^{-1} : [0,1]^{2} → [0, 1]$ é contínua e portanto $f$ é um homomorfismo.


Seja $C ⊂ [0,1]$ um subconjunto fechado. Uma vez que é limitado, $C$ é compacto. Agora, temos $(f^{-1})^{-1} (C) = f(C)$ e a imagem do conjunto compacto sob função contínua é compacta, $(f^{-1})^{-1}$ de conjuntos fechados são fechados. 


Portanto, olhando para os complementos de $(f^{-1})^{-1}$ de conjuntos abertos, podemos concluir que estes são abertos. Assim $(f^{-1})^{-1}$ é contínuo.


Agora podemos considerar a seguinte função $g: [0,1]^{2}/ \{p\} → [0,1]/ \{q\}$ tal que $g(x) = f^{-1} (x)$, $∀ x \in  [0,1]^{2}/ \{p\}$, para quaisquer $p \in (0,1)^{2}$ e $ q \in (0,1)$. Pela argumento acima, $g$ é uma função bijetora e contínua entre $[0,1]^{2}/ \{p\}$ e $[0,1]/ \{q\}$. No entanto $[0,1]^{2}/ \{p\}$ é conexa e $g([0,1]^{2}/ \{p\})= ([0,1]/ \{q\})$ é desconexa. 


Assim contradiz a continuidade de $g$. Portanto, não há bijeção contínua entre $[0,1] → [0,1]^{2}$.