===== Paracompactos =====
**Definição 1:** Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Dizemos que uma família $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é localmente finita se, para todo $x\in X$, existe $A$ aberto tal que $x\in A$ e $\{F\in \mathcal{F}: \, A\cap F \neq \varnothing\}$ é finito.
Ou seja, a família $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é localmente finita se cada ponto do espaço tem uma vizinhança aberta onde só se consegue avistar uma quantidade finita de conjuntos de $\mathcal{F}$.
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Família $\mathcal{F}$ localmente finita.
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**Definição 2:** Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $\mathcal{C}$ uma cobertura para $X$. Dizemos que $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é um refinamento para $\mathcal{C}$ se $\mathcal{F}$ cobre $X$ e para todo $F\in \mathcal{F}$, existe $C_F \in \mathcal{C}$ tal que $F\subset C_F$.
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Exemplo de refinamento $\mathcal{F}$ da cobertura $\mathcal{C}$ de $X$.
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**Definição 3:** Dizemos que $(X,\tau)$ é paracompacto se toda cobertura aberta de $X$ admite um refinamento aberto localmente finito.
Note que as noções de "refinamento" e de ser "localmente finito" foram adicionadas para relaxar as condições de "subcobertura" e finitude que caracterizam a definição de compacto. É fácil ver que qualquer subcobertura é um refinamento e que uma família finita é localmente finita, logo qualquer compacto é paracompacto. Mas ser paracompacto é algo muito mais fácil que ser compacto — em particular [[topologia:metricoparacompacto|qualquer espaço métrico é paracompacto]].
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=== Proposição 4: ===
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico regular com base enumerável. Então $(X,\tau)$ é paracompacto.
[[prova1parac|Demonstração]]
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Já vimos que para uma família finita de conjuntos $\mathcal{F}$ vale $\bigcup_{F\in \mathcal{F}}\overline{F}= \overline{\bigcup_{F\in \mathcal{F}}F}$. Veremos adiante que isso vale também para famílias localmente finitas.
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=== Lema 5: ===
Seja $\mathcal{F}$ localmente finita. Então $\bigcup_{F\in \mathcal{F}}\overline{F}= \overline{\bigcup_{F\in \mathcal{F}}F}$. Em particular, a união de uma família localmente finita fechada é fechada.
[[prova2parac|Demonstração]]
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Iremos provar em breve que um espaço de Hausdorff paracompacto é normal. A técnica é semelhante à usada para mostrar que um espaço de Hausdorff compacto é normal. Inicialmente precisamos de condições para poder separar dois fechados disjuntos em um espaço paracompacto.
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=== Lema 6: ===
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico paracompacto e $A$, $B\subset X$ fechados disjuntos. Suponha que para todo $x\in B$, existem abertos disjuntos $U_x$ e $V_x$ tais que $A\subset U_x$ e $x\in V_x$. Então existem abertos disjuntos $U$ e $V$ tais que $A\subset U$ e $B\subset V$.
[[prova3parac|Demonstração]]
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=== Teorema 7: ===
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico paracompacto e de Hausdorff. Então $(X,\tau)$ é normal.
[[prova4parac|Demonstração]]
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=== Veja também ===
* [[topologia:metricoparacompacto| Todo espaço métrico é paracompacto]]