Seja $(X,\le)$ um conjunto totalmente ordenado, sem maior nem menor elementos, [[separabilidade|separável]] e conexo (com a [[topologia:aincriveltopologiadaordem|topologia da ordem]]). Vale que
- $\le$ é uma ordem densa.
- $\le$ é uma ordem completa.
- $(X,\le)$ é [[topologia:homeo|homeomorfo]] a $\mathbb{R}$.
**Demonstração**
- Suponha que não. Então existem $a,b\in X$ com $a< b$ tais que não existe $c\in X$ com $a< c< b$. Considere os abertos $A=]a,+\infty[$ e $B=]-\infty,b[$. Como $b\in A$ e $a\in B$, tem-se $A,B\neq\emptyset$. Ademais, $A\cup B=X$ e, por hipótese, $A\cap B=]a,b[=\emptyset$. Mas isso implica em $X$ **não** conexo. Contradição.
- Suponha que não. Então existe $A\subset X$ não vazio limitado superiormente que não admite supremo. Sejam $S$ o conjunto das cotas superiores de $A$ e $R$ o conjunto das cotas inferiores de $S$. Como $A$ tem limitante superior, temos $S\neq\emptyset$. Como $a