=== $\omega_1$ não é localmente conexo. === **Demonstração.** Seja $x\in\omega_1$ um ordinal limite, isto é, tal que não existe $y\in\omega_1$ com $x = y+1$, e seja $V$ um aberto de $\omega_1$ com $x\in V$. Então existe $]a, b[$ aberto básico de $\omega_1$ com $x\in ]a, b[\subset V$, $a, b\in \omega_1$, $a\prec b$. Como $a\prec x$ e $a+1\neq x$, temos $a\prec a+1\prec x\prec b$, portanto, $a+1\in ]a, b[\subset V$. De modo análogo, mostramos que $a+2\in]a, b[\subset V$. Dessa forma, os abertos $A = ]-\infty, a+2[~\cap V$ e $B = ]a+1, +\infty[~\cap V$ de $V$ serão não vazios, disjuntos e tais que $A\cup B = V$. Segue que $x$ não possui vizinhança conexa, logo, $\omega_1$ não é localmente conexo.