=== $\omega_1$ não é conexo. === **Demonstração.** Seja $x\in\omega_1$. Então $A =~]-\infty, x+1[$ e $B =~]x, +\infty[$ são abertos disjuntos e não vazios tais que $A\cup B = \omega_1$. Segue que $\omega_1$ não é conexo.