=== $\omega_1$ não é compacto. === **Demonstração.** Considere a cobertura por abertos $\mathcal{C} = \{]-\infty, x+1[: x\in\omega_1\}$ de $\omega_1$. Veja que $\mathcal{C}$ é, de fato, uma cobertura, já que dado $x\in\omega_1$ temos $x\in ]-\infty, x+1[\in \mathcal{C}$. Seja $\mathcal{C}'\subset\mathcal{C}$ subconjunto finito. Então existe um subconjunto finito $A\subset \omega_1$ tal que $\mathcal{C}' = \{]-\infty, x+1[: x\in A\}$. Assim, se $y = \max A$, temos $y+1\not\in ]-\infty, x+1[$ $\forall x\in A$, i.e., $\mathcal{C}'$ não cobre $y+1$. Segue que $\mathcal{C}$ não possui subcobertura finita, portanto, $\omega_1$ não é compacto.