===== O plano, a menos de enumeráveis pontos, é conexo! =====

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Seja $E\subset \mathbb{R}^2$ um conjunto enumerável. Então $\mathbb{R}^2\backslash E$ (com a topologia induzida por $\mathbb{R}^2$) é conexo!
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De fato, tome $p, q\in\mathbb{R}^2\backslash E$.

Note que há uma quantidade não enumerável de retas de $\mathbb{R}^2$ que passam por $p$ (uma para cada inclinação $\theta\in [0, \pi[$ ), logo, como há mais retas do que pontos em $E$, ao menos uma das retas, digamos $r$, não passa por nenhum ponto de $E$.

De modo similar, há uma quantidade não enumerável de retas de $\mathbb{R}^2$ que passam por $q$ e **não são paralelas à $r$** (uma para cada inclinação $\varphi\in [0, \pi[$, $\varphi\neq \theta$), logo, ao menos uma das retas, digamos $s$, não passa por nenhum ponto de $E$.

Note que ambas as retas são homeomorfas à $\mathbb{R}$, que é conexo, logo, ambas as retas são conexas! Além disso, como as retas escolhidas não são paralelas, elas se interceptam, de modo podemos garantir que $r \cup s$ é conexo!

Ora, mas então quaisquer dois elementos de $\mathbb{R}^2\backslash E$ pertencem a um mesmo subconjunto conexo de $\mathbb{R}^2\backslash E$, de modo que deve ser verdade que $\mathbb{R}^2\backslash E$ é conexo!

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Note que é possível utilizar as retas $r$ e $s$ tomadas na demonstração para construir um caminho de $p$ para $q$. Dessa forma, mostra-se que $\mathbb{R}^2\backslash E$ é não só //conexo// como também //conexo por caminhos//!
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