===== Mutuamente separados =====
Esta definição servirá para uma caracterização da conxidade.
=== Definição ===
Seja un [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]] $(X,\tau)$. Dizemos que $A,B\subset X$ são **mutuamente separados** se $\overline{A}\cap B=\emptyset$ e $\overline{B}\cap A=\emptyset$.
Note que se $A,B\subset X$ são mutuamente separados então $A$ y $B$ são disjuntos, mas o recíproca não é satisfeita, pois
se considerarmos $A=< -\infty ;0>$ y $B=[0;\infty>$ são disjuntos, mas $\overline{A}\cap B=\{0\}\neq\emptyset$ .
=== Proposição ===
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Então $Y\subset X$ é conexo se, e somente se, não existem $A,B\subset X$ mutuamente separados tais que
$Y=A\cup B$.
[[dem:mutuaseparados<->conexo|Demonstração]]
=== Corolário ===
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Se $Y\subset X$ conexo e $A,B\subset X$ são mutuamente separados tal que $Y\subset A\cup B$, então
$Y \subset A$ o $Y \subset B$.
[[dem:Conexo->separado|Demonstração]]
=== Proposição ===
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico.\\
a) Se $X=\cup_{i\in I}X_i$ e $X_i$ é conexo para cada $i\in I$ tal que $X_i\cap X_j\neq\emptyset$ para todo $i,j\in I$, então $X$ é conexo.\\
b) Se para cada $x,y\in X$ existe $A\subset X$ conexo tal que $x,y\in A$, então $X$ é conexo.\\
[[dem:uniãoconexa->conexo|Demonstração]]
=== Proposição ===
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Se $A\subset X$ é conexo y $A\subset B\subset\overline{A}$, então $B$ é conexo.
[[dem:subconjconexa->conexo|Demonstração]]