===== Caracterização para espaços métricos compactos =====

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=== Lema ===

Sejam $(X,d)$ um [[topologia:espacometrico|espaço métrico]] [[topologia:totalmentelimitados|totalmente limitado]] e $Y \subset X$. Então, $Y$ é totalmente limitado. 
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Seja $\varepsilon > 0$. Como $X$ é totalmente limitado, segue da definição que existe $F \subset X$ finito tal que $X = \cup_{x \in F}B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$. Para todo $x \in F$ tal que $B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x) \cap Y \neq \phi$, seja $y_x \in B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x) \cap Y$. Defina $E = \{y_x : y_x \in B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x) \cap Y\}$. É claro que $E \subset Y$ é finito, já que $F$ é finito. Seja $a \in Y$. Como $Y \subset X$, existe $x \in F$ tal que $a \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(x) \cap Y$ e, dessa forma, existe $y_x \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(x) \cap Y$. Assim, é fácil ver que $a \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(y_x)$ e, dessa forma, $Y \subset \cup_{y \in E}B_{\epsilon}(y)$. Portanto, $Y$ é totalmente limitado.

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Varemos agora que um espaço métrico é compacto se, e somente se, é completo e totalmente limitado. É importante para acompanhar a demonstração a familiariedade com os termos. Você pode revisá-los clicando abaixo:
  * [[topologia:espacometrico|Espaço métrico]]
  * [[topologia:metcompleto|Espaço métrico completo]]
  * [[topologia:totalmentelimitados|Totalmente limitado]]
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=== Teorema ===

Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Então, $(X,d)$ é compacto se, e somente se, $(X,d)$ é completo e totalmente limitado.
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Primeiramente, provaremos a ida. Então, suponha que $(X,d)$ é um espaço métrico compacto. Assim, segue de forma direta que $(X,d)$ é completo. Também, tomando abertos da forma $B_{\varepsilon}(x) para $\varepsilon > 0$ e $x \in X$, temos que $\{B_{\varepsilon}(x) : x \in X\} é uma cobertura por abertos e, como $X$ é compacto, admite subcobertura finita. Logo, $(X,d)$ é totalmente limitado.

Agora suponha $(X,d)$ um espaço métrico completo e totalmente limitado. Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de pontos em $X$. Se $\{x_n : n \in \mathbb{N}\}$ é finito, existe $(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ subsequência convergente. Suponha, portanto, que $\{x_n : n \in \mathbb{N}\}$ é infinito. Como $X$ é totalmente limitado, $\{x_n : n \in \mathbb{N}\}$ também é. Sejam $\varepsilon_0 = 1$ e $F_0 \subset \{x_n : n \in \mathbb{N}\}$ finito tal que $\{x_n : n \in \mathbb{N}\} \subset \cup_{x \in F_0}B_{\varepsilon_0}(x)$. Observe que, para algum $x_{n_0} \in F_0$, $B_{\varepsilon_0}(x_0) \cap \{x_n : n \in \mathbb{N}\}$ é infinito. Repita tal processo tomando, para cada $k+1$, $\varepsilon_{k+1} = \frac{1}{k+2}$ e escolhendo $F_{k+1}$ finito tal que $\{x_n : n > n_k\} \subset \cup_{x \in F_{k+1}}B_{\epsilon_{k+1}}(x)$. Novamente, tomamos $x_{n_{k+1}} \in F_{k+1}$ tal que $B_{\varepsilon_{k+1}}(x_{n_{k+1}}) \cap \{x_n : n > n_k\}$ seja infinito. É fácil notar que tal sequência é uma sequência de Cauchy e, portanto, como $X$ é completo, converge. 

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Uma consequência imediata desse teorema é que, considerando $(X,d)$ um espaço métrico completo, $A \subset X$ é compacto se, e somente se, $A$ é fechado e totalmente limitado.
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