===== Compacidade local =====

Esta noção dá uma ideia parcial de um conjunto compacto, ou seja, que é compacto pelo menos localmente.
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=== Definição ===

Um [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]] $(X,\tau)$ é **localmente compacto** se todo $x \in X$ admite um [[topologia:bases|sistema fundamental de vizinhanças]] compactas.
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Note que não podemos definir compacidade local dizendo que todo $x \in X$ admite bases locais compactas, pois bases são compostas de abertos e abertos dificilmente serão compactos (somente em casos muito específicos).
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=== Proposição ===

Se $(X,\tau)$ é um [[topologia:espacohausdorff|espaço de Hausdorff]] compacto, então $(X,\tau)$ é localmente compacto.
<wrap help>[[dem:Hausdorffcompacto->localcompacto|Demonstração]]</wrap>
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  * A volta não é válida, isto é, nem todo espaço localmente compacto é compacto. <wrap info> [[topologia:exemplolocalmentecompactonaocompacto| Exemplo]] </wrap>

Embora não é possível garantir a normalidade de espaços localmente compactos de Hausdorff (como foi feito para espaços compactos), conseguimos garantir a propriedade de ser completamente regular:
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=== Proposição ===

Se $(X,\tau)$ é um espaço de Hausdorff localmente compacto, então é completamente regular.
<wrap help>[[dem:Hausdorfflocalmentecompacto->compregualr|Demonstração]]</wrap>
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