//**Exercício 4.3.24.** Toda função contínua $f: X \to Y $, onde $X,Y$ são métricos e $X$ é  tal que toda cobertura possui número de Lebesgue, é uniformemente contínua //

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**Definição:** Seja $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta para um espaço métrico $X$. Dizemos que $\varepsilon$ é um **número de Lebesgue** para $\mathcal{C}$ se, para todo conjunto $A \subset X$ com diâmetro menor do que $\varepsilon$, temos que existe $C \in \mathcal{C}$ tal que $A \subset C$. \\
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**Definição**: Dizemos que $f:(X,d) \to (Y,d')$ é **uniformemente contínua**, se para todo $\epsilon > 0$ existir $\delta > 0$ tal que:
\begin{equation}
d(a,b) < \delta \Rightarrow d'(f(a),f(b)) < \epsilon \qquad \forall a,b \in X
\end{equation}
Onde $d$, $d'$ são as métricas de $X$ e $Y$, respectivamente.
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A diferença entre uma função uniformemente contínua e uma função contínua, está na escolha do $\delta$, na função uniformemente contínua o $\delta$ depende apenas do $\epsilon$, já na função contínua o $\delta$ depende do $\epsilon$ e do valor $x$ onde está provando a continuidade.
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**Demonstração:** \\
Seja $\epsilon > 0$, dado $x \in X$, existe um $\delta_x$ tal que:
$$d(x,y)< \delta_x \Rightarrow d'(f(x),f(y)) < \frac{\epsilon}{2}$$
Tome agora $\mathcal{C} = \{B_{\delta_x}(x): x \in X\}$, note que $\displaystyle\bigcup_{x \in X}B_{\delta_x}(x) = X$, logo $\mathcal{C}$ é uma cobertura para $X$, por hipótese, podemos tomar o número de Lebesgue dessa cobertura que denotaremos por $\delta$. Tome $a,b \in X$ temos que se 
 $d(a,b) < \delta$, então $a,b \in\overline{B_{d(a,b)}(a)} \subset X$ possui diâmetro menor que $\delta$, logo, por definição existe $B_{\delta_{x_0}}(x_0) \in \mathcal{C}$ tal que $ \overline{B_{d(a,b)}(a)} \subset B_{\delta_{x_0}}(x_0)$, logo: 
$$d(x_0,a) < \delta_{x_0} \Rightarrow d'(f(x_0),f(a))< \frac{\epsilon}{2}$$ e 
$$d(x_0,b) < \delta_{x_0} \Rightarrow d'(f(x_0),f(b))< \frac{\epsilon}{2}$$ 
Logo,
$$d'(f(a),f(b)) \leq d'(f(a),f(x_0)) + d'(f(x_0),f(b))< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Assim $f$ é uniformemente contínua.