======= Invariantes topológicos =======

Estabelecer um [[topologia:homeo|homeomorfismo*]] entre dois espaços nos permite caracterizar melhor tais espaços do ponto de vista topológico. Dados dois espaços 
topológicos $X$ e $Y$, naturalmente surge o questionamento de como determinar se $X$ e $Y$ são homeomorfos ou não. Disso, se inicia o estudo de algumas propriedades topológicas que podem ou não ser comuns entre eles. 

<WRAP round box 100%> 
=== Definição ===
Uma propriedade $P$ é chamada de //invariante topológico// se é preservada através de homeomorfismos. Em outras palavras, se os espaços topológicos $(X, \tau)$ e $(Y, \theta)$ são homeomorfos, dizemos que $P$ é um invariante topológico quando $(X, \tau)$ tem a propriedade $P$ se, e só se, $(Y, \theta)$ também a tem. 
</WRAP>

**Exemplo:** Os axiomas de separabilidade e enumerabilidade são invariantes topológicos. Em particular, se $f:X \to Y$ é um homeomorfismo e $X$ é separável, então, pela continuidade e sobrejetividade de $f$, temos que $Y$ também é separável, valendo a recíproca para $Y$ separável e $f^{-1}$.

Dessa forma, para provar a separabilidade de um dado espaço $Y$, podemos tentar encontrar um espaço $X$ separável e um homeomorfismo $f: X \to Y$. 



**Exemplo:** Considere o conjunto $X= \{ \frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}^\ast \}$, no qual podemos estabelecer a métrica $d_1$, herdada da métrica usual de $\mathbb{R}$, e a métrica discreta $d_2$ definida por 
$$d_2(x,y) = 
\begin{cases}
0,\ se \ x=y \\
1, \ se \ x \neq y
\end{cases}
$$
Note que o espaço $(X,d_1)$ não é completo, pois a sequência $(\frac{1}{n})_n$ é uma sequência de Cauchy que não converge em $(X, d_1)$. Por outro lado, $(X, d_2)$ é completo, visto que está munido da métrica discreta. A métrica $d_1$ induz a topologia $\tau$ sobre $X$, que é a topologia induzida de $\mathbb{R}$ sobre $X$. Por outro lado, a métrica $d_2$ induz a topologia discreta $\theta$ sobre $X$. Neste caso, $\tau = \theta$. Portanto, a aplicação $f: (X, d_1) \to (X, d_2)$, dada por $f(x) = x$, é um homeomorfismo. 

**Observação:** A propriedade //"ser sequência convergente"// é um invariante topológico. De fato, seja $f: X \to Y$ um homeomorfismo. Seja $(x_n)_n$ uma sequência em $X$ que converge para um dado ponto $x \in X$. Assim, pela continuidade de $f$, temos que $f(x_n) \to f(x)$ quando $n \to \infty$. Portanto, $(f(x_n))_n$ é uma sequência convergente em $Y$. Reciprocamente, basta tomar uma sequência convergente em $Y$ e considerar a aplicação contínua $f^{-1}: Y \to X$.