**Lema.** Dado $z \in \mathbb{Z}$, consideremos $\omega_{z}(x)=(cos(2\pi zx), \sin(2\pi zx))$. Então, $\omega_a * \omega_{b} \simeq \omega_{a+b}$, quaisquer que sejam $a,b \in \mathbb{Z}$.
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**Demonstração.** Inicialmente, note que estamos considerando laços em $x_0=(1,0)$. Agora, consideremos as funções, definidas em $[0,1]$, dadas por: 
$$g(x)=(a+b)x, \quad f(x)=\begin{cases}2ax,\text{ se } 0\leq x \leq \frac{1}{2} \\  a+b(2x-1), \text{ se }  \frac{1}{2} \leq x \leq 1   \end{cases} \text{.}$$
Considerando, $H_1(x,t)=(1-t)g(x)+tf(x)$, então temos que $f,g$ são caminhos homotópicos. Agora, considere $\varphi (x)=(\cos(2\pi x), \sin(2 \pi x))$. É fácil ver que $\varphi \circ g = \omega_{a+b}$ e $\varphi \circ f = \omega_a * \omega_b$. Sendo assim, $H_2(x,t)=\varphi(H_1(x,t))$ faz com que $\omega_{a+b}$ e $\omega_a * \omega_b$ sejam caminhos homotópicos em $(1,0)$.