===== Homotopia =====
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=== Definição: Homotopia ===
Sejam \((X, \tau)\), \((Y, \sigma)\) espaços topológicos e \(f, g: X \rightarrow Y\) funções contínuas. Dizemos que \(f\) é homotópica a \(g\) se existe \(H: X \times [0,1] \rightarrow Y\) contínua tal que \(H(x,0) = f(x)\ \forall x \in X, H(x,1) = g(x)\ \forall x \in X\). \(H\) é **homotopia** entre \(f\) e \(g\). Notação: \(f \simeq g\).
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  * Sejam \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n, f(x) = x\) e \(g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n, g(x) = 0\). Mostre que existe \(f \simeq g\).

  * Podemos generalizar a homotopia em convexos, seja \(A \subset \mathbb{R}^n\) convexo e \(f,g: X \rightarrow A\), mostre que existe homotopia entre f e g.

  * Mostre que \(\simeq\) é uma relação de equivalência. (Dica: para a transitividade reparametrize as homotopias \(f \simeq g\) e \(g \simeq h\)). 

  * Vamos mostrar que composições de funções homotópicas são homotópicas. Considere \(X, Y\) e \(Z\) espaços topológicos, \(f_1,f_2: X \rightarrow Y\) e \(g_1,g_2: Y \rightarrow Z\) funções contínuas tais que \(f_1 \simeq f_2\) e \(g_1 \simeq g_2\). 
    * Mostre que \(g_1 \circ f_1 \simeq g_2 \circ f_1\);
    * Mostre que \(g_2 \circ f_1 \simeq g_2 \circ f_2\);
    * Conclua.

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=== Definição: Contrátil ===
\(X\) é **contrátil** se \(Id: X \rightarrow X, Id(x) = x\ \forall x\), é homotópica a alguma função constante.
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  * Mostre que \(A \subset \mathbb{R}^n\) convexo é contrátil.

  * Considere \(X\) contrátil, ou seja \(Id \simeq f\), onde \(f \equiv c,\ c \in X\). Mostre que \(\forall a \in X\), existe caminho de \(a\) para \(c\).

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//**Corolário**//: Se \(X\) é contrátil, \(X\) é conexo por caminhos.
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  * Prove que X é contrátil se, e só se, para todo espaço \(T\) e todas \(f,g : T \to X\) contínuas temos que \(f \simeq g\).

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=== Definição: Homotopicamente Equivalentes ===
Os espaços topológicos \((X, \tau)\), \((Y, \sigma)\) são **homotopicamente equivalentes** se existem \(f : X \to Y\) e \(g : Y \to X\) tal que \(f \circ g \simeq Id_y\) e \(g \circ f \simeq Id_x\).
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  * Mostre que \(X\) é contrátil se, e somente se, \(X\) é homotopicamente equivalente a um espaço unitário.

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=== Definição: Retrato ===
Seja \(A \in X\), \(A\) é um **retrato** de \(X\) se existe \(r: X \to A\) contínua tal que \(c(a) = a\) para todo \(a \in A\). Se \(r \simeq Id_x\), chamaremos isso de **retração de deformação**.
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  * Mostre que se \(A \in X\) é uma retração de deformação, então \(A\) e \(X\) são homotopicamente equivalentes.

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=== Definição: Caminhos Homotópicos ===
Sejam \((X, \tau)\) espaço topológico, \(x,y \in X\) e \(f,g : [0,1] \to X\). Dizemos que \(f\) e \(g\) são **caminhos homotópicos** se existe \(H : [0,1] \times [0,1] \to X\) homotopia entre \(f\) e \(g\) de modo que \(H(0,\cdotp)\) e \(H(1,\cdotp)\) são constantes. (Notação: \(\cdotp\) representa qualquer \(x \in X\)).
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