=== Um exercício sobre espaços homogêneos ===
=== Exercício 2.4.23 ===
Dizemos que $(X,\tau)$ é um **espaço homogêneo** se para todos $x,y\in X$ existe homeomorfismo $f:X\rightarrow X$ de forma que $f(x)=y$.\\
a) Mostre que $\mathbb{R}$ é homogêneo.\\
b) Mostre que $]a,b[$ é homogêneo.\\
c) Mostre que o espaço das sequências convergentes $\mathbb{N}\cup \{\infty\}$ **não** é homogêneo.
**Solução:** a) Dados $x,y\in \mathbb{R}$, considere o homeomorfismo
$$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$
$$t\mapsto t+y-x$$
Claramente $f$ é bijeção contínua e $f^{-1}$ dada por $f^{-1}(t)=t+x-y$ também é contínua. $_{\blacksquare}$\\
b) A menos de conjugação por homeomorfismos, podemos supor $]a,b[=]0,1[$ (caso contrário, considere o homeomorfismo natural $t\mapsto (b-a)t+a$ de $]0,1[$ em $]a,b[$). Dados $x,y\in ]0,1[$,defina
$$f:]0,1[\rightarrow ]0,1[$$
$$t\mapsto \begin{cases} \frac{y}{x}t,\ 0