==== Todo espaço Haussdorff paracompacto é coletivamente normal (Exercício 7.6.17 e 7.6.18) ====

Primeiramente vejamos algumas definições preliminares.

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=== Definição 1 ===
Considere $(X,\tau)$ espaço topológico. Dizemoa que uma família $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é localmente finita se, para todo $x\in X,$ existe $V$ aberto tal que $x\in V$ e $\{F\in \mathcal{F};~V\cap F\not= \emptyset \}$ é finito.
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=== Definição 2 ===
Dada uma cobertura $\mathcal{C}$ para um espaço topológico $(X,\tau)$. Dizemos que $\mathcal{F}$ é um refinamento para $\mathcal{C}$ se $\mathcal{F}$ também é uma cobertura e para todo $F\in \mathcal{F}$, existe $C\in \mathcal{C}$ tal que $F\subset C.$
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=== Definição 3 ===
Um espaço é dito paracompacto se toda cobertura aberta admite refinamento aberto localmente finito.
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=== Definição 4 ===
Dizemos que $\mathcal{F}$ é uma família discreta, para todo $x\in X,$ existe $V$ aberto contendo $x$ que intersecta no máximo um $F\in \mathcal{F}.$ 
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=== Definição 5 ===
Dizemos que $(X,\tau)$ é coletivamente normal se $X$ é $T_1$ e para toda família discreta $\{F_i;i\in I\}$ de fechados, existe uma família de abertos $\{V_i;i\in I\}$ dois a dois disjuntos tal que $F_i\subset V_i$ para todo $i\in I.$
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De fato, todo espaço coletivamente normal é normal, já que é $T_1$ e uma família de dois conjuntos fechados disjuntos é obviamente uma família discreta, portanto é $T_4$. Sabemos que todo espaço Haussdorff paracompacto é normal pela [proposição], mas podemos melhorar ainda mais esssa afirmação.

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=== Proposição ===
Todo espaço de Haussdorff paracompacto é coletivamente normal. 
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//Demonstração.// Seja $\{F_i\}_{i\in I}$ família discreta de fechados então é localmente fechada, então 

$$\bigcup_{i\in I}F_i=\bigcup_{i\in I}\overline{F_i}=\overline{\bigcup_{i\in I}F_i}$$
é fechado. Mais ainda, fixando um $j\in I,$ então $D_j=\cup_{i\not= j}F_i$ também é fechado. Para cada $x\in F_j$, suponha $V_x$ aberto contendo $x$ que intersecta somente $F_j.$ É claro que podemos pegar $U_x$ aberto contendo $D_j$ de maneira que $U_x\cap V_x= \emptyset,$ pois todo espaço paracompacto Haussdorff é normal.  

Note que $\{V_x\}_{x\in F_j}\cup \{X\backslash F_j\}$ é uma cobertura aberta para $X$. Logo existe um refinamento aberto localmente finito, e olhando apenas para $F_j$ podemos tomar um refinamento aberto finito para $\{V_x\}_{x\in F_j}:$ 

$$\{W_s\}_{s\in S}.$$
Como $W_s\subset V_x$ para algum $x,$ então temos que $\overline{W_s}\cap D_j=\emptyset.$ Considere $V_j=\cup_{s\in S}W_s,$ então $F_j\subset V_j.$ Mas novamente, $V_j'=\cup_{s\in S} \overline{W_s}$ é fechado. Desde que $D_j\subset X\backslash V_j'$, façamos $U_j=X\backslash V_j'.$ Portanto temos um aberto $V_j$ contendo $F_j$ e um aberto $U_j$ contendo $D_j$. 

Como $\{F_i\}_{i\not=j}$ é uma família discreta no espaço $X\backslash V_j$, podemos fazer esse processo novamente, e teremos um aberto $V_k$ contendo um $F_k\in \{F_i\}_{i \not= j}$ e um aberto $U_k$ contendo $D_{k}=\cup_{i\not= j,k}F_i.$ E assim indutivamente, teremos abertos $V_i$ dois a dois disjuntos contendo cada $F_i$.  $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\square$