=== Exercício 4.1.38 === Considere $ \mathcal{F} $ o conjunto de todas as funções $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ (não necessariamente contínuas). Considere sobre $ \mathcal{F} $ a topologia produto (induzida por $ \prod_{x \in \mathbb{R}} \mathbb{R} $). Chama-se de suporte de uma função $ f $ o conjunto $ \overline{\{x \in \mathbb{R} : f(x) \neq 0\}} $. Mostre que o conjunto das funções continuas de suporte compacto é denso em $ \mathcal{F} $. **Solução:** Denote por $ C_{c}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{F} $ o conjunto das funções continuas de suporte compacto. Provamos que $ C_{c}(\mathbb{R}) $ é denso em $ \mathcal{F} $ ao provar que $ C_{c}(\mathbb{R}) \cap V \neq \varnothing $ para todo aberto básico de $ \mathcal{F} $. Seja $ V $ um aberto básico, então existem $ x_{1} < \cdots < x_{n} $ reais e $ U_{1}, \dots, U_{n} \subset \mathbb{R} $ abertos tais que $$ V = p_{x_{1}}^{-1}[U_{1}] \cap \cdots \cap p_{x_{n}}^{-1}[U_{n}], $$ onde $ p_{x} $ é a projeção da coordenada $ x $. Para todo $ 1 \leqslant i \leqslant n $ tome $ y_{i} \in U_{i} $ qualquer e então defina $ y_{0} = y_{n+1} = 0 $, $ x_{0} = x_{1} - 1 $ e $ x_{n+1} = x_{n} + 1 $. Agora, considere $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ dada por $$ f(t) = \begin{cases} \frac{1}{x_{i+1}-x_{i}}(y_{i}(x_{i+1}-t)+y_{i+1}(t-x_{i})), & \qquad \text{ se } t \in [x_{i}, x_{i+1}] \\ 0, & \qquad \text{ se } t \in (-\infty,x_{0}) \cup (x_{n+1}, \infty) \end{cases}. $$ O suporte de uma função sempre é um conjunto fechado, no caso da $ f $ seu suporte está, claramente, contido no conjunto limitado $ [x_{0},x_{n+1}] $, portanto $ f $ tem suporte compacto. Para ver se $ f $ é continua perceba que apenas os pontos $ x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n+1} $ são passiveis de problemas, no resto do domínio $ f $ ou é constante ou é uma função linear entre esses pontos, alguns instantes de consideração sobre os limites laterais devem ser suficientes para se convencer que $ f $ é continua em todo $ \mathbb{R} $. Portanto $ f \in C_{c}(\mathbb{R}) $. Terminamos ao ver que $ f \in V $, de fato para todo $ 1 \leqslant i \leqslant n $ temos $$ p_{x_{i}}(f) = f(x_{i}) = y_{i} \in U_{i}. $$ Logo $ f \in V \cap C_{c}(\mathbb{R}) $.