====== Funções ======
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=== Definição: Função Contínua ===

(Versão local) Sejam $(X, \Omega )$ e $(Y, \rho )$ espaços topológicos, $f:X \rightarrow Y$ uma função e o ponto $x \in X$. Dizemos que $f$ é uma //**função contínua no ponto $x$**// se, para toda vizinhança $V$ de $f(x)$ existe uma vizinhança $W$ de $x$ tal que $f[W] \subset V$.

Obs.: $f$ é contínua se é contínua em todos os pontos de seu domínio.

(Versão global) Sejam $(X, \Omega )$ e $(Y, \rho )$ espaços topológicos e $f:X \rightarrow Y$ uma função. Dizemos que $f$ é uma **//função contínua//** se, para toda vizinhança $V$ de $Y$, temos que $f^{-1}[V]$ é aberto em $X$ (i.e, $\forall V \in \rho$, $f^{-1}[V] \in \Omega$).
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  * Considere $(X, \Omega )$ um espaço topológico e a função $I:X \rightarrow X$ dada por $I(x)=x$ para todo $x \in X$ (**//função identidade//**), então $I$ é contínua. Demonstre.

  * Qualquer função constante é contínua. Prove.

  * Mostre que dados $(X, \Omega )$ e $(Y, \rho )$ espaços topológicos e $f:X \rightarrow Y$ uma função, então $f$ é contínua se, e somente se, para todo $x \in X$, $f$ é contínua no ponto $x$.

  * Prove que dados $(X, \Omega )$, $(Y, \rho )$ e $(Z, \theta)$ espaços topológicos e as funções contínuas $g:X \rightarrow Y$ e $f:Y \rightarrow Z$, então a **//função composta//** $f$ o $g$ também é contínua.

  * Demonstre que dados $(X, \Omega )$ e $(Y, \rho )$ espaços topológicos e $f:X \rightarrow Y$ uma função contínua sobrejetora, se $D \in X$ é denso em $X$, então $f[D]$ é denso em $Y$.

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//**Corolário**//: Se $X$ é separável e existe uma função sobrejetora e contínua $f:X \rightarrow Y$, então $Y$ é separável. Imagem contínua de um domínio separável é separável.
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===Definição: Espaço da sequência convergente===
Chama-se de **//espaço da sequência convergente//** o conjunto $\mathbb{N} \cup \{ \infty \}$ com a topologia gerada pelos conjuntos:\\
a) $\{n\}, n \in \mathbb{N}$;\\
b) $\{ \infty \} \cup A$, em que $A \in \mathbb{N}$ e $\mathbb{N} \setminus A$ é finito.\\
\\
Desta forma, um conjunto contendo $ \infty $ é aberto se, e somente se, apenas uma quantidade finita de elementos de **//N//** não pertence a ele.
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  * Mostre que dados $(X, \Omega )$ espaço topológico e a função $f: \mathbb{N} \cup \{ \infty \} \rightarrow X$, então $f$ é contínua se, e somente se, $f(n) \longrightarrow f( \infty )$ (i.é, a sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, em que cada $x_n=f(n)$, é convergente para $x=f( \infty )$).

  * Prove que dados $(X, \Omega )$, $(Y, \rho )$ espaços topológicos, a função contínua  $f:X \rightarrow Y$ e $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência convergente para $x \in X$, então $f(x_n) \longrightarrow f(x)$.

  * Demonstre que dados $(X, \Omega )$, $(Y, \rho )$ espaços topológicos, onde $(X, \Omega )$ possui bases locais enumeráveis e a função $f:X \rightarrow Y$, então $f$ é contínua se, e somente se, para toda sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ em $X$, tal que $x_n \longrightarrow x$, tem-se que $f(x_n) \longrightarrow f(x)$.

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===Definição: Extensão de uma função===
Dados $(X, \Omega )$, $(Y, \rho )$ espaços topológicos, o conjunto $A \in X$, e as funções $f:A \rightarrow Y$ e $g:X \rightarrow Y$, diz-se que $g$ é uma **//extensão//** de $f$ se $g(a)=f(a)$ para todo $a \in A$.
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  * Mostre que dados $(X, \Omega )$, $(Y, \rho )$ espaços topológicos onde $Y$ é de //Hausdorff//, o conjunto denso $D \in X$, as funções contínuas $f:X \rightarrow Y$ e $g:X \rightarrow Y$, que estendem $f|_D$ e $g|_D$, então $f=g$.

  * Dado $(X, \Omega)$ espaço topológico e seja $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}$, $\phi (X) = inf\{r \in \mathbb{Q}: x \in F_{r}\}$. Suponha que exista $(F_{s})_{s \in \mathbb{Q}}$ família de fechados tal que: 
         * $F_{r} \subset Int(F_{s})$ se $r < s$ 
         *$\underset{s \in \mathbb{Q}}{\cup} F_{s} = X$ 
         *$\underset{s \in \mathbb{Q}}{\cap} F_{s} = \emptyset$ 
             *Mostre que $\phi^{-1} [ ]a,b[ ]$ é aberto para todo $a < b \in \mathbb{Q}.
             *Mostre que $\phi$ é contínua.
  
  * Dado $(X, \Omega)$ espaço topológico $T_4$ e $f: A \rightarrow [0,1]$ contínua onde $A \subset X$ é fechado:
         * Note que $A_{s} = \{x \in A: f(x) \leq r\}$ é fechado e $U_{s} = X - \{x \in A: f(x) \geq s\}$ é aberto. 
         * Note que $A_{r} \subset U_{s}$ se $r < s$
         * Construa $(H_{n})_{n \in \mathbb N}$ sequência de abertos tal que
              * $A_{r_n} \subset H_{n} \subset \overline{H_{n}} \subset U_{s_n}$ para todo $n$ natural
              * $\overline{H_{n}} \subset H_{n}$ se $(r_{m}, s_{m}) < (r_{n}, s_{m})$, onde $(r, s) < (a, b)$ se $r \leq a$ e $s \leq b$. 
         * Conclua que existe $F: X \rightarrow [0,1]$ extensão contínua de $f$.  
         * Note que podemos escrever $f(x) = inf\{r \in \mathbb{Q}: x \in A_{r}\}$
         * Conclua que existe $F$ que estente $f$
   * Lema de Urysohn: Dado $(X, \Omega)$ espaço topológico, mostre que $X$ é $T_4$ se, e somente se, para todo $F, G$ fechados disjuntos existe $f: \rightarrow [0,1]$ contínua tal que $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}$. 

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//**Definição**//: $(X, \Omega)$ espaço topológico satisfaz $T_{3_{1/2}}$ se para todo $x \in X$ e para todo $F \subset X$ fechado tal que $x \notin F$ existe $f: X \rightarrow [0,1]$ contínua tal que $f(x) = 0$ e $f[F] - \{1\}$. Se $(X, \Omega)$ é $T_1$ e $T_{3_{1/2}}$, dizemos que é um espaço completamente regular. 
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   * Teorema de Tietze: Dado $(X, \Omega)$ espaço topológico $T_4$, $F \subset X$ fechado e $f: F \rightarrow \mathbb{R}$ contínua, esse é um roteiro para mostrar que existe $f´: X \rightarrow \mathbb R$ extensão contínua de $f$. 
         *Note que é suficiente mostrar o resultado para $f: F \rightarrow ]-1,1[$
         *Note que podemos considerar $f: F \rightarrow [-1,1]$
         *Mostre que existe $g: X \rightarrow [-1,1]$ extensão contínua de $f$
         *Note que $g^{-1}[\{-1,1\}]$ é fechado
         *Conclua que existe $f´: X \rightarrow ]-1,1[$ extensão contínua de $f$.
   * Mostre que se $X$ é $T_4$ e $M \subset X$ é um fechado, então para toda $f: M \rightarrow [a,b]$ contínua, existe $F: X \rightarrow [a,b]$ extensão contínua de $f$.
   * Mostre que todo espaço completamente regular é um espaço regular.
   * Sejam $f, g: X \rightarrow Y$ funções contínuas, onde $Y$ é de Hausdorff. mostre que $E = \{x \in X: f(x)=g(x)\}$ é fechado.
   * Mostre que subespaços de $T_{3_{1/2}}$ são $T_{3_{1/2}}$.
   * Sejam $(x_{n})_{n \in \mathbb N}$ uma sequência de pontos de $\mathbb R$ tal que $x_{n} \rightarrow x \in \mathbb{R}, x_{n} \neq x_{m}$ se $n \neq m$ e $x_{n} \neq x$ para todo $n$. Seja também $(y_{n})_{n \in \mathbb N}$ sequência de pontos de $\mathbb R$ tal que $y_{n} \rightarrow y \in \mathbb{R}$. Mostre que existe uma função contínua $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x)=y$ e $f(x_{n})=y_{n}$ para todo $n \in \mathbb{N}$. 
   * Mostre que vale o seguinte enunciado alternativo para o Teorema de Tietze: Sejam $(X, \Omega)$ espaço $T_{4}$. Sejam $F \subset X$ fechado e $f: D \rightarrow [0,1[$ função contínua. Então existe $f´: X \rightarrow [0,1[$ extensão contínua de $f$. 
   * Dado $X$ de Hausdorff e usando a notação do Teorema de Tietze, mostre que a extensão $f´$ é única se, e somente se, $F=X$. 
   * Este é um roteiro para exibir um espaço que é regular mas não é completamente regular. Considere $S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq 2\}$ e $p$ um ponto tal que $p \notin S$. O exemplo será o conjunto $S \cap \{p\}$ com uma topologia especial. Para cada $x \in \mathbb{R}$, considere 
       *$D_{x} = \{(t, t-x) \in S: x \leq t \leq x+2\}$
       *$V_{x}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: (x,y) \in S\}$ 
       *$A_{x}=D_{x}\cap V_{x}$. Para cada $n \in \mathbb{N}$ considere:
       *$U_{n}=\{(x,y) \in S: x \geq n\}$
       *$I_{n}=[n, n+1]$ x $\{0\}$. Considere sobre $T$ a topologia gerada pelos conjuntos da forma:
       *$\{(x,y)\}$ onde $(x,y) \in S$ e $y>0$
       *$A_{x}-F$, onde $F$ é um conjunto finito
       *$\{p\} \cup U_{n}$. Então:
       *Note que os abertos da forma $A_{x}-F$, onde $F$ é finito e não contém $(x,0)$, formam uma base para $(x,0)$.
       *Note que os abertos da forma $\{p\} \cap U_{n}$ formam uma base para $p$.
       *Note que os pontos $(x,y)$ com $y>0$ são isolados.
       *Note que esta topologia é de Hausdorff.
       *Mostre que o subespaço $S$ é zero-dimensional (e, portanto, completamente regular).
       *Mostre que $T$ é regular (note que só precisa mostrar que $p$ admite sistema fundamental de vizinhanças fechadas).
       *Seja $J \subset A_{x}$ infinito. Note que $(x,0) \in \overline{J}$.
       *Seja $g: S \rightarrow \mathbb{R}$ contínua tal que $g((x,0))=0$ para algum $x \in \mathbb{R}$. mostre que $g(a) \neq 0$ para, no máximo, uma quantidade enumerável de pontos de $A_{x}$ Dica: considere conjuntos da forma $g^{-1}[[1/n, +\infty]] \cap A_{x}$.
       *Seja $g: S \rightarrow \mathbb{R}$ contínua. Mostre que, se $g(a)=0$ para infinitos $a \in A_{x}$, então $g((x,0))=0$.
       *Agora vamos trabalhar com uma função contínua $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ fixada. Vamos supor que exista um conjunto infinito de pontos da forma $(x,0) \in I_{n}$ tais que $f((x,0))=0$. Seja $X=\{(x_{k},0) \in I_{n}: f((x_{k},0))=0\}$ um subconjunto enumerável de tais zeros. 
       *Para cada $k$, note que existe $E_{k} \subset D_{x_{k}}$ enumerável de forma que $f(x)=0$ para todo $x \in D_{x_{k}} - E_{k}$. 
       *Considere, para cada $k$, $J_{k}=\{x: (x,y) \in E_{k}$ para algum $y\}$. Note que $J_{k}$ é enumerável. 
       *Considere $J-[n+1, n+2] - \underset{k \geq 1}{\cup} J_{k}$. Note que $J$ x $\{0\}$ tem complementar enumerável em $I_{n+1}$.
       *Fixe $(x,0) \in J x \{0\}$. Note que existem infinitos pontos $a \in A_{x}$ tais que $f(a)=0$. Conclua que $F((x,0))=0$.
       *Note que provamos que existem infinitos pontos $x$ em $I_{n_1}$ tais que $f(x)=0$. Prove intuitivamente que isso é verdade para todo $I_{j}$ com $j \geq n$. 
       *Seja $f: T \rightarrow \mathbb{R}$ contínua tal que $f[I_{0}]=0$. Note que para todo $k, I_{k}$ contém infinitos zeros de $f$. 
       *Note que $p$ e $I_{0}$ não podem ser separados por uma função contínua (assim, $T$ não é $T_{3_{1/2}}$).
  *Dada $f: X \rightarrow X$, dizemos que $x$ é um ponto fixo se $f(x)=x$. Dado $(X, \Omega)$ espaço de Hausdorff, mostre que existe uma única função contínua $f: X \rightarrow X$ tal que, para todo $x \in X$ e todo $V$ aberto tal que $x \in V$, existe $y \in V$ ponto fixo.