==== Fechados e fechos ====

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=== Definição: Conjunto fechado===

Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $F \subset X$ é um **conjunto fechado** se $X \backslash F$ é aberto.

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  * Mostre que em qualquer espaço topológico $(X, \tau)$, $X$ e $\emptyset$ são fechados. Desta forma, em particular, $X$ e $\emptyset$ são simultaneamente abertos e fechados.
  * Mostre que em $\mathbb R$, o intervalo $[0,1]$ é fechado.
  * Mostre que na topologia discreta qualquer conjunto é fechado.
  * Mostre que na reta de Sorgenfrey, o intervalo $[0,1[$ é fechado, onde $a<b$.

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=== Definição: Fecho e interior===

Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. O **fecho** de $A$ é definido como $\bar{A}=\bigcap_{F \in \mathcal F} F$, onde $\mathcal F = \{F \subset X : F \textrm{ é fechado e } A \subset F \}$.\\
O **interior** de $A$ é definido como $Int(A)=\bigcup_{V \in \mathcal V} V$ onde $\mathcal V = \{ V \subset X : V \textrm{ é aberto e } V \subset A \}$.

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  * Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Mostre que $\bar{A}$ é fechado e $Int(A)$ é aberto.

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=== Definição: Ponto aderente===

Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Dizemos que $x \in X$ é **ponto aderente** a $A$ se para todo aberto $V$ tal que $x \in V$ valer $V \cap A = \emptyset$.

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  * Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Mostre que $\bar{A} = \{x \in X : x \textrm{ é ponto aderente de } A \}$.
  * Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A,B \subset X$. Mostre que:
      * Se $A \subset B$, então $\overline{A} \subset \overline{B}$
      * $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$
      * $\overline{A}=A$ se, e somente se, $A$ é fechado.
  * Considere um conjunto $X$ com a topologia discreta. 
      * Mostre que se todo subconjunto $A$ de $X$ é fechado, então $\overline{A}=A$
      * Mostre também que $Int(A)=A$
  * Mostre que, em $\mathbb{R}$, $\overline{[a,b[}=[a,b]$
  * Mostre que, na reta de Sorgenfrey, $\overline{[a,b[}=[a,b[$
  * Mostre que, em $\mathbb{R}$, $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ e $Int(\mathbb{Q})=\emptyset$
      * Mostre que o mesmo vale para a reta de Sorgenfrey

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=== Definição: Ponto de Fronteira===

Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Dizemos que $x \in X$ é um **ponto de fronteira** de $A$ se para todo $V \subset X$ aberto tal que $x \in V$, temos $V \cap A \neq \emptyset$ e $V \cap (X \ A) \neq \emptyset$

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=== Notação===
$\partial A = \{ \in X:x$é um ponto de fronteira de $A\}$

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  *Mostre que, em $\mathbb{R}$, $\partial [a,b[={a,b}$
      * E mostre quem na reta de Sorgenfrey $\partial [a,b] =\emptyset$
      * Mostre também que a igualdade acima vale de modo geral.
  * Mostre que, em $\mathbb{R}$, $\partial \mathbb{Q}=\mathbb{R}$
      * Mostre que o mesmo vale para a reta de Sorgenfrey
  * Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Mostre que são verdadeiras:
      * $X,\emptyset$ são fechados
      * Se $F,G \subset X$ são fechados, então $F \cup U$ é fechado
      * Se $\mathcal{F}$ e uma família não vazia de fecahdos, então $\bigcap_{F\in\mathcal{F}}F$ é um fechado
  * Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Dizemos que $x \in X$ é um **ponto interior** de $A$ se existe $V$ aberto tal que $x \in V \subset A$. Mostre que $Int(A)=\{x\in X: x$ é um ponto interior de $A\}$
  * Mostre o caso análogo para o interior para a seguinte Proposição:  
      * Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A,B \subset X$. Temos
          * Se $A \subset B$, então $\overline{A} \subset \overline{B}$
          * $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$
          * $\overline{A}=A$ se, e somente se, $A$ é fechado.
  * Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $A \subset X$. Mostre as seguintes afirmações:
      * $\partial A = \overline{A} \cap \overline{X\backslash A}$
      * $Int(A) \cap \partial A = \emptyset$
      * $\partial A = \overline{A} \backslash Int(A)$
      * $\overline{A} = A \cup \partial A$
  * Mostre que a fronteira de um conjunto sempre é fechada.
  * Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $Y \subset X$ subespaço. Mostre que $F \subset Y$ é fechado em $Y$ se, e somente se, existe $F' \subset X$ fechado em $X$ tal que $F = F' \cap Y$
  * Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $Y \subset X$ subespaço fechado. Mostre que $F \subset Y$ é fechado em $Y$ se, e somente se, $F$ é fechado em $X$
  * Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $Y \subset X$ subespaço aberto. Mostre que $F \subset Y$ é aberto em $Y$ se, e somente se, $F$ é aberto em $X$