=== Existe um caminho de $x$ para $y$. ===

\\ Considere a relação $x$ ~$y$ dada por "existe um caminho de $x$ para $y$". Vamos demonstrar essa afirmação com algumas proposições.

\\ === Proposição 1 ===
<WRAP round box 40%>
Ser conexo por caminhos é um invariante topológico. [[.:dem:invariantetop|Demonstração]]
</WRAP>

\\ === Proposição 2 ===
<WRAP round box 65%>
Considere a relação $x$~$y$ dada por existe um caminho de $x$ para $y$. Então ela é uma relação de equivalência. [[.:dem:existecamrel|Demonstração]]
</WRAP>


\\ === Proposição 3 ===
<WRAP round box 100%>
Fixado $x$, o conjunto $\{y:$ existe um caminho de $x$ para $y\}$ é exatamente o conjunto dos $y$'s equivalentes a $x$ por ~. Chamamos tal conjunto de ** componente conexa por caminhos ** de $x$. [[.:dem:existeccc|Demonstração]]
</WRAP>

<WRAP round tip 52%>
A componente conexa por caminhos de um ponto é sempre fechada? [[.:dem:existecccex|Demonstração]]
</WRAP>

\\ === Proposição 4 ===
<WRAP round box 45%>
A componente conexa por caminhos de um ponto é sempre aberta. [[.:dem:existecccponto|Demonstração]]
</WRAP>