=== A Topologia de Zariski não é $T_{3}$ ===

Para isso, usaremos o fato de que [[zariskiabertosdensos| todo Zariski aberto não vazio é denso]]. Seja $x \in k^{n}$ e $V$ aberto contendo $x$, notemos que para qualquer aberto $A$, inclusive os que $x \in A$ temos que $x \in A \subset \overline{A} \subset V \iff V = k^{n}$ pois $A$ é um aberto não nulo, e logo $\overline{A} = k^{n}$. Como existe aberto não nulo $V \neq k^{n}$ contendo $a = (a_{1},\ldots,a_{n})$(basta tomar o conjunto $\{ x \in k^{n}: x_{i} \neq a_{i} \}$ que é aberto Zariski), logo a topologia de Zariski não é $T_{3}$.



Outra maneira de se obter esse resultado é notando que [[zariskiT2| a topologia de Zariski não é Hausdorff]] e portanto não é regular, mas como ela é $T_{1}$ temos que ela não é $T_{3}$.