=== $k^{n}$ com a topologia de Zariski é conexo ===

Sejam $F,G \subset k^{n}$ fechados disjuntos tais que $F \cup G = k^{n}$. Notemos que existem ideais radicais de $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$, digamos $I,J$ tais que $F = V(I)$ e $G = V(J)$, assim, $V(\{ 0 \}) = k^{n} = V(I) \cup V(J) = V(IJ) \implies I = 0$ ou $J = 0$, logo $G = k^{n}$ ou $F = k^{n}$ e portanto ou $F = \emptyset$ ou $G = \emptyset$.

Além disso. conseguimos caracterizar os conjuntos conexos como sendo os conjuntos $V(I)$ onde $I$ é um ideal primo de $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$.