===== Topologia de Zariski =====

**Definição**: Dado um corpo algebricamente fechado $k$ de característica zero, definimos os fechados de $k^{n}$ como sendo conjuntos $X \subset k^{n}$ onde $X$ é tal que existe $S \subset k[x_{1}, \ldots,x_{n}]$ que satisfaz $Z(S) = \{ x \in k^{n}: f(x) = 0 \ \forall f \in S \} = Z$. Vamos mostrar que quando $k$ é finito tal topologia [[Zariskidisc|se reduz a topologia discreta]]

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Da álgebra comutativa conseguimos mostrar que $Z(S) = Z(\langle S \rangle)$, onde $\langle S \rangle$ é o ideal gerado por $S$. Pelo teorema da base de Hilbert, conseguimos mostrar que pra qualquer $S \subset k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ existe uma quantidade finita de polinômios $f_{1},\ldots f_{n} \in k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ tal que $\langle S \rangle = \langle f_{1},\ldots, f_{n} \rangle $, assim $Z(S) = Z(X)$, onde $X = \{ f_{i}: 1 \leqslant i \leqslant n \}$. Com isso conseguimos mostrar que os fechados são $V(I)$ para algum ideal $I$ de $k[x_{1}, \ldots, x_{n}]$, e ainda mais, conseguimos dizer que os fechados de $k^{n}$ são $V(\{ f_{1},\ldots,f_{m} \})$ para finitos $f_{i} \in k[x_{1},\ldots,x_{n}]$
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Vamos mostrar que de fato tomando os fechados de $k^{n}$ dessa maneira temos que isso define uma topologia. Assim, notemos que dados $I,J$ ideais de $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ temos $Z(I) \cup Z(J) = Z(IJ)$. Dados $I_{\alpha}$ ideais de $k[x_{1},\ldots, x_{n}]$ temos que $\underset{\alpha}{\bigcap}Z(I_{\alpha}) = Z\left( \underset{\alpha}{\bigcup} I_{\alpha} \right)$. De fato, seja $p \in Z\left( \underset{\alpha}{\bigcup} I_{\alpha} \right) \iff f(p) = 0, \ \forall f \in \underset{\alpha}{\bigcup} I_{\alpha} \iff p \in Z(I_{\alpha}), \ \forall \alpha \iff p \in \underset{\alpha}{\bigcap}Z(I_{\alpha})$, logo, $Z\left( \underset{\alpha}{\bigcup} I_{\alpha} \right) = \underset{\alpha}{\bigcap}Z(I_{\alpha})$. E por fim, notemos que $k^{n} = Z(\{ 0 \})$, onde $0 \in k[x_{1}, \ldots, x_{n}]$ é o polonômio nulo e $\emptyset = Z(\{ a \})$, onde $a \in k \subset k[x_{1}, \ldots, x_{n}]$.

[[ZariskiBase| Base da Topologia de Zariski em $k^{n}$]]


=== Axiomas de separação ===
  * [[ZariskiT0|Satisfaz $T_{0}$.]] (Kolmogorov)
  * [[ZariskiT1|Satisfaz $T_{1}$.]] (Fréchet)
  * [[ZariskiT2|Não satisfaz $T_{2}$.]] (Hausdorff)
  * [[ZariskiT3|Não satisfaz $T_{3}$]]
  * [[ZariskiT312|Não satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$.]] (Tychonoff)
  * [[ZariskiT4|Não satisfaz $T_{4}$.]]

\\
=== Axiomas de enumerabilidade ===
  * [[ZariskyBaseLocEnum|Possui bases locais enumeráveis.]]
  * [[ZariskiBaseEnum|Possui base enumerável.]]
  * [[ZariskiSeparavel|É separável.]]

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=== Propriedades de cobertura ===
  * [[ZariskiCompacto|É compacto.]]
  * [[ZariskiLocComp|É localmente compacto.]]
  * [[ZariskiLindelof|É de Lindelöf.]]
  * [[ZariskiParacompacto|É paracompacto.]]
 
\\
=== Propriedades de conexidade ===
  * [[ZariskiConexo|É conexo.]]
  * [[ZariskiLocConexo|Não é localmente conexo.]]
\\
=== Outras propriedades ===
  * [[ZariskiMetri|Não é metrizável.]]
  * [[ZarikiCompMetrizavel|Não é completamente metrizável.]]

Os resultados algébricos assumidos durante esse exemplo estão enunciados e provados aqui(principalmente nos dois primeiros anexos) :

https://drive.google.com/drive/folders/1uL3U21QhnWx1g1B11LbR7qFgNYZD08S5?usp=sharing