==== Não é compacto ====

Seja $B_f \in \mathcal{B}$. É claro que existem infinitos $x \notin B_f$. Mas, então, a coleção de abertos $\mathcal{O} = \{B_f\}\cup\{\{x\}:x \notin B_f\}$ é uma cobertura infinita que não admite subcobertura finita.