===== O ponto $\tilde{(0,0)}$ não admite base local enumerável =====

Sejam $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ funções. Sejam, também, $(A_f)$ abertos definidos da seguinte forma:
\begin{equation}
   A_f = \{\tilde{(0,0)}\} \cup \{\tilde{(n,\frac{1}{k})} : n \in \mathbb{N}, k > f(n)\}
\end{equation}

É claro que $\{A_f | f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\}$ é uma base local para $\tilde{(0,0)}$. Suponha, por contradição, que existe uma coleção $(A_{f_m})_{m \in \mathbb{N}}$ que é uma base.

Defina $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dada por
\begin{equation}
   g(k) = max\{f_i(k) : i \leq k\} + 1
\end{equation}

Seja $n \in \mathbb{N}$. Note que $(n,\tilde{\frac{1}{f_n(n)+1}}) \in A_{f_n} - A_g$, isto é, esse ponto não pertence à $A_g$. Assim, $A_{f_n}$ não está contida em $A_g$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Portanto, encontramos um aberto que não contém nenhum elemento da base. Absurdo. Portanto, $\{A_{f_n} : n \in \mathbb{N}\}$ não é uma base.