Dado um espaço vetorial real normado $V$, então
$$B_r(p)=\{v\in V:|v-p|0$.
**Demonstração:** Dados $u,v\in B_r(p)$ e $t\in [0,1]$:
$$|tu+(1-t)v-p|=|t(u-p)+(1-t)(v-p)|\le |t(u-p)|+|(1-t)(v-p)|=t|u-p|+(1-t)|v-p|
$C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é localmente conexo por caminhos. Em particular, é localmente conexo.
**Demonstração:** Dada $f\in C([0,1],\mathbb{R})$, pelo lema anterior, basta considerar a família
$$\{B_r(f):r>0\}$$
que é uma base local e seus elementos são convexos, e logo conexos por caminhos.